Correction Module 1 : Somme double positive

 

Tout d’abord, remarquons que :

\displaystyle \frac{1}{1+i+j} \; = \; \left [ \frac{t^{1+i+j}}{1+i+j} \right ]^{1}_{0} \; = \; \int_{0}^{1}t^{i+j}dt

On repart ensuite de la somme double que l’on va égaler à une somme d’intégrales :

 

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{1\leq i,j \leq n } \left( \frac{a_i a_j}{1+i+j} \right) \; &=\; \sum_{1\leq i , j \leq n } \left( a_i a_j \int_{0}^{1}t^{i+j}dt\right)& \\ \\ &=\; \int_{0}^{1}\left(\sum_{1\leq i,j \leq n } a_i a_j t^{i+j}\right)dt \qquad \quad par\; lin\'earit\'e\; de \;l'int\'egrale& \\ \\ &= \int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j t^{i}t^{j}\right)dt \qquad \quad d\'efinition\; de\; la\; somme\; double& \\ \\ & =\int_{0}^{1} \left(\sum_{i=1}^{n} a_i t^{i} \sum_{j=1}^{n} a_j t^{j}\right)dt & \\ \\ &= \int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n} a_i t^{i}\right)^{2}dt \qquad \qquad \quad car\; l'indice\; de\; sommation\; est \;muet& \end{aligned}

Or pour tous réels  a_1,a_2,...,a_n  et tout réel t  , on a :     \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i t^{i}\right)^{2}\;\geq\;0

D’où, par positivité de l’intégrale sur \displaystyle [0,1]    :

\displaystyle \sum_{1\leq i , j \leq n } \left( \frac{a_i a_j}{1+i+j} \right) \; = \; \int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n} a_i t^{i}\right)^{2}dt\;\;\geq\;\;0

 

 

 

 

 

Si vous aviez réussi cet exercice, je vous tire mon chapeau.

Si vous n’êtes pas parvenu à le résoudre, ce n’est pas grave. Il s’agit d’un exercice réellement très difficile demandant d’être particulièrement à l’aise avec la visualisation des calculs et d’avoir une très bonne intuition mathématique ; vous deviendrez meilleurs à force de travail de recherche, et serez capables d’appréhender des exercices de plus en plus compliqués. Vous devez simplement y aller progressivement : il n’y a aucun intérêt à vouloir directement faire des exercices d’un niveau trop élevé, ce serait comme vouloir apprendre à nager au milieu de l’océan… Soyez patients, et persévérez !

Les prochains modules de la partie « Difficile » seront plus guidés pour proposer un contenu plus en profondeur ; en attendant je vous encourage à faire tous les autres modules des parties « Facile » et « Moyen », qui vous aideront à progresser pour vous attaquer à des exercices de plus en plus ardus.

 

 

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