Module 2 : Démontrer que Pi est irrationnel

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En tant qu’amateur de maths, vous savez déjà que \pi possède d’innombrables propriétés ; dont celle d’être irrationnel (c.à.d qu’il est impossible d’écrire \pi sous la forme \pi = \frac{p}{q}  avec  p \in \mathbb{Z} et q \in \mathbb{N^*}). Vous le savez car on vous l’a dit, mais jamais ne vous en a été présenté la démonstration, n’est-ce pas ?

Et cela est parfaitement normal. Cette démonstration dépasse de très loin la difficulté de celles qui vous seront présentées au lycée.

Cependant, si vous êtes motivés à vous creuser la tête et passer du temps à réfléchir, je vous propose de vous guider à travers cette démonstration de l’irrationnalité de \pi pour vous la rendre accessible ; mais je vous préviens d’avance, ce sera loin d’être facile.

Alors si vous vous sentez prêt à tenter d’élucider l’un des nombreux mystères que recèle le nombre \pi, attachez votre ceinture et prenez une grande inspiration ; commençons la démonstration !

Prérequis :

 

Vous aurez besoin de connaître quelques formules et méthodes de calcul pour mener à terme cette démonstration. Vous pouvez les apprendre par coeur et les retenir, ce ne sera pas une perte de temps : vous devrez de toute façon connaître tout ça sur le bout des doigts dès la première année de prépa.

 

Rappels :

– On note  \mathbb{Q}  l’ensemble des rationnels

– On note  \frac{\pi}{2}\mathbb{Z}  l’ensemble des  \{k\frac{\pi}{2}\;,\;k\in\mathbb{Z}\}

– On définit la fonction trigonométrique « tangente » (notée  \tan ) sur tout intervalle de la forme  \left]\,k\frac{\pi}{2}\;,\;(k+1)\frac{\pi}{2}\,\right[   ,  k\in\mathbb{Z}  , comme suit : 

\tan\,:\,x \mapsto \frac{\sin x}{\cos x}

Formules trigonométriques de base (à connaître par coeur !) :

Soient  a , b \in \mathbb{R} 

Formule fondamentale :

\cos^2 a + \sin^2 a = 1

Formules d’addition :

\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\sin(a+b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b
\sin(a-b) = \cos a \sin b - \sin a \cos b

Formules de duplication :

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a 
\sin(2a) = 2\sin a \cos a

(Conséquence directe des formules d’addition)

Dérivée des fonctions sinus et cosinus :

On a   \sin' x = \cos x   et   \cos' x = -\sin x

Intégration par parties :

L’intégration par partie (souvent abrégée en IPP), est une méthode d’intégration très pratique que vous utiliserez dès la première année d’études supérieures.

Soient  u  et  v  deux fonctions continues et dérivables sur un intervalle  \mathbb{I}  de  \mathbb{R} .
Soient  a,b\in\mathbb{I}  ,  alors :

\displaystyle \boxed{\int_{a}^{b}u'(t)v(t)\;dt \;=\; \big[u(t)v(t)\big]_a^b \,- \int_a^b u(t)v'(t)\;dt}

La démonstration de ce résultat est immédiate en intégrant  (uv)'=\,u'v+uv'  entre  a  et  b , puis en utilisant la linéarité de l’intégrale : 
\int_a^b (uv)'(t)\;dt\;=\;\int_a^b \left( u'(t)v(t)+u(t)v'(t)\right)\,dt \\ \Leftrightarrow \; \big[u(t)v(t)\big]_a^b \;=\; \int_{a}^{b}u'(t)v(t)\;dt \;+\; \int_a^b u(t)v'(t)\;dt

Exemple d’application :

Utiliser une intégration par parties pour calculer \int_1^x \ln(t)\,dt  et ainsi retrouver une primitive de  x\mapsto \ln(x)

Solution : 

On réalise l’IPP en posant  u'(t) = 1  ( u(t) = t )  et  v(t) = \ln(t)  ( v'(t) = \frac{1}{t} )  , et on obtient :

\begin{aligned} \int_1^x \ln(t)\;dt \;&=\; \big[t\ln(t)\big]_1^x - \int_1^x t\times\frac{1}{t}\;dt \\&=\;x\ln(x)-1\ln(1)-\big[t\big]_1^x \\&=\;x\ln(x)-x+1 \end{aligned}

 Une primitive de la fonction  \ln  est donc  x\mapsto x\ln(x)-x+1  ou, plus simplement,  x\mapsto x\ln(x)-x  (la constante n’intervenant pas lors de la dérivée).

 

 

Vous avez désormais toutes les connaissances requises pour effectuer cette démonstration.

Pi est irrationnel ainsi que tan(r) si r est rationnel

 

Le but de l’exercice est de montrer que \pi est irrationnel en montrant que \tan r l’est également si r \in \mathbb{Q^*} .

Soit r=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q^*} \setminus (\frac{\pi}{2}\mathbb{Z})  avec  a\in\mathbb{Z} et b\in\mathbb{N^*}
( l’ensemble des rationnels privé de tous les nombres de la forme k\frac{\pi}{2}  ,  k\in\mathbb{Z} )

On suppose par l’absurde que \tan r est rationnel, c.à.d que \tan r = \frac{p}{q}  avec  p\in\mathbb{Z} et q\in\mathbb{N^*} .

Pour tout n\in\mathbb{N} , on note f_n la fonction  \displaystyle x \mapsto f_n(x)=\frac{(2ax-bx^2)^n}{n!}  et on pose : \displaystyle I_n=\int_{0}^{2r} f_n(x)\sin x \,dx

 


 

1/ a) Que valent le minimum et le maximum de la fonction  x \mapsto 2ax-bx^2  sur [0,2r]
          (On rappelle que r=\frac{a}{b} )

     b) En déduire que pour tout n\in\mathbb{N}  :  |I_n| \leq \left(\frac{a^2}{b}\right)^n \cdot\frac{2r}{n!}

2/ Soit x\in\mathbb{R} , on pose  \displaystyle u_n=\frac{x^n}{n!}   et   \displaystyle v_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} . Montrer que la suite  v  converge vers 0 et en déduire que la suite  u  converge vers 0 (attention à le démontrer rigoureusement !)Conclusion pour la suite (I_n) ?

 

3/ a) Exprimer I_0  et  I_1 en fonction de  \cos r  et  \sin r . Montrer que I_0 \neq 0

     b) Que valent f_n  et  f'_n  en  \displaystyle 0  et  2r ? En déduire que pour tout n\in\mathbb{N}\geq2  ,  \displaystyle I_n=-\int_{0}^{2r} f''_n(x)\sin x \, dx 

     c) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}  :  f''_{n+2}=4a^2f_n-(4n+6)bf_{n+1}

     d) En déduire que pour tout n\in\mathbb{N}  :  I_{n+2}=-4a^2I_n+(4n+6)bI_{n+1}

     e) En déduire l’existence pour tout n\in\mathbb{N} , de deux entiers a_n,b_n\in\mathbb{Z} pour lesquels : 

I_n=(a_n\cos r + b_n \sin r)\cdot 2\sin r

     f) En déduire que pour tout n\in\mathbb{N}   :  \displaystyle \frac{qI_n}{\sin(2r)}\in\mathbb{Z} 
         
(Commencer par justifier l’existence de ce quotient.)

4/ Montrer que les résultats précédents contredisent la proposition  I_0 \neq 0 .
     
En déduire que :  \forall r \in \mathbb{Q}\setminus (\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}) \; , \; \tan r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}   (c.à.d que \tan r est irrationnel.)

5/ Conclure pour l’irrationalité de \pi .

 

Voir la correction

Indices

 

 

 

 

 3/ a) 


Pour calculer  I_1 , utilisez une intégration par parties.

 

 

 

 

 

3/b)


S’aider encore une fois d’une IPP

 

 

 

 

 

3/ e) 


On pourra s’aider d’un raisonnement par récurrence « double ».
C.à.d pour une certaine propriété  P  supposer à un rang  n  donné que l’on a  P(n)  et  P(n+1)  ;  et montrer que cela implique alors  P(n+2)

 

 

 

 

 

4/

Utilisez, entre autres, le résultat des questions  2/  et 3/ d)