Module 2 : Démontrer que Pi est irrationnel
En tant qu’amateur de maths, vous savez déjà que possède d’innombrables propriétés ; dont celle d’être irrationnel (c.à.d qu’il est impossible d’écrire
sous la forme
avec
et
). Vous le savez car on vous l’a dit, mais jamais ne vous en a été présenté la démonstration, n’est-ce pas ?
Et cela est parfaitement normal. Cette démonstration dépasse de très loin la difficulté de celles qui vous seront présentées au lycée.
Cependant, si vous êtes motivés à vous creuser la tête et passer du temps à réfléchir, je vous propose de vous guider à travers cette démonstration de l’irrationnalité de pour vous la rendre accessible ; mais je vous préviens d’avance, ce sera loin d’être facile.
Alors si vous vous sentez prêt à tenter d’élucider l’un des nombreux mystères que recèle le nombre , attachez votre ceinture et prenez une grande inspiration ; commençons la démonstration !
Prérequis :
Vous aurez besoin de connaître quelques formules et méthodes de calcul pour mener à terme cette démonstration. Vous pouvez les apprendre par coeur et les retenir, ce ne sera pas une perte de temps : vous devrez de toute façon connaître tout ça sur le bout des doigts dès la première année de prépa.
Rappels :
– On note l’ensemble des rationnels
– On note l’ensemble des
– On définit la fonction trigonométrique « tangente » (notée ) sur tout intervalle de la forme
,
, comme suit :
Formules trigonométriques de base (à connaître par coeur !) :
Soient
Formule fondamentale :
Formules d’addition :
Formules de duplication :
(Conséquence directe des formules d’addition)
Dérivée des fonctions sinus et cosinus :
On a et
Intégration par parties :
L’intégration par partie (souvent abrégée en IPP), est une méthode d’intégration très pratique que vous utiliserez dès la première année d’études supérieures.
Soient et
deux fonctions continues et dérivables sur un intervalle
de
.
Soient , alors :
La démonstration de ce résultat est immédiate en intégrant entre
et
, puis en utilisant la linéarité de l’intégrale :
Exemple d’application :
Utiliser une intégration par parties pour calculer et ainsi retrouver une primitive de
Solution :
On réalise l’IPP en posant (
) et
(
) , et on obtient :
Une primitive de la fonction est donc
ou, plus simplement,
(la constante n’intervenant pas lors de la dérivée).
Vous avez désormais toutes les connaissances requises pour effectuer cette démonstration.
Pi est irrationnel ainsi que tan(r) si r est rationnel
Le but de l’exercice est de montrer que est irrationnel en montrant que
l’est également si
.
Soit avec
et
( l’ensemble des rationnels privé de tous les nombres de la forme ,
)
On suppose par l’absurde que est rationnel, c.à.d que
avec
et
.
Pour tout , on note
la fonction
et on pose :
1/ a) Que valent le minimum et le maximum de la fonction sur
?
(On rappelle que )
b) En déduire que pour tout :
2/ Soit , on pose
et
. Montrer que la suite
converge vers 0 et en déduire que la suite
converge vers 0 (attention à le démontrer rigoureusement !). Conclusion pour la suite
?
3/ a) Exprimer et
en fonction de
et
. Montrer que
.
b) Que valent et
en
et
? En déduire que pour tout
,
c) Montrer que pour tout :
d) En déduire que pour tout :
e) En déduire l’existence pour tout , de deux entiers
pour lesquels :
f) En déduire que pour tout :
(Commencer par justifier l’existence de ce quotient.)
4/ Montrer que les résultats précédents contredisent la proposition .
En déduire que : (c.à.d que
est irrationnel.)
5/ Conclure pour l’irrationalité de .
Indices
3/ a)
Pour calculer , utilisez une intégration par parties.
3/b)
S’aider encore une fois d’une IPP
3/ e)
On pourra s’aider d’un raisonnement par récurrence « double ».
C.à.d pour une certaine propriété supposer à un rang
donné que l’on a
et
; et montrer que cela implique alors
4/
Utilisez, entre autres, le résultat des questions 2/ et 3/ d)