Module 2 : Démontrer que Pi est irrationnel

par Pablo

En tant qu’amateur de maths, vous savez déjà que $\pi$ possède d’innombrables propriétés ; dont celle d’être irrationnel (c.à.d qu’il est impossible d’écrire $\pi$ sous la forme $\pi = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N^*}$ ). Vous le savez car on vous l’a dit, mais jamais ne vous en a été présenté la démonstration, n’est-ce pas ?

Et cela est parfaitement normal. Cette démonstration dépasse de très loin la difficulté de celles qui vous seront présentées au lycée.

Cependant, si vous êtes motivés à vous creuser la tête et passer du temps à réfléchir, je vous propose de vous guider à travers cette démonstration de l’irrationnalité de $\pi$ pour vous la rendre accessible ; mais je vous préviens d’avance, ce sera loin d’être facile.

Alors si vous vous sentez prêt à tenter d’élucider l’un des nombreux mystères que recèle le nombre $\pi$ , attachez votre ceinture et prenez une grande inspiration ; commençons la démonstration !

Prérequis :

Vous aurez besoin de connaître quelques formules et méthodes de calcul pour mener à terme cette démonstration. Vous pouvez les apprendre par coeur et les retenir, ce ne sera pas une perte de temps : vous devrez de toute façon connaître tout ça sur le bout des doigts dès la première année de prépa.

Rappels :

– On note $\mathbb{Q}$ l’ensemble des rationnels

– On note $\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$ l’ensemble des $\{k\frac{\pi}{2}\;,\;k\in\mathbb{Z}\}$

– On définit la fonction trigonométrique « tangente » (notée $\tan$ ) sur tout intervalle de la forme $\left]\,k\frac{\pi}{2}\;,\;(k+1)\frac{\pi}{2}\,\right[$ , $k\in\mathbb{Z}$ , comme suit :

$\tan\,:\,x \mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$

Formules trigonométriques de base (à connaître par coeur !) :

Soient $a , b \in \mathbb{R}$

Formule fondamentale :

$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$

Formules d’addition :

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b$
$\sin(a-b) = \cos a \sin b - \sin a \cos b$

Formules de duplication :

$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$
$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$

(Conséquence directe des formules d’addition)

Dérivée des fonctions sinus et cosinus :

On a $\sin' x = \cos x$ et $\cos' x = -\sin x$

Intégration par parties :

L’intégration par partie (souvent abrégée en IPP), est une méthode d’intégration très pratique que vous utiliserez dès la première année d’études supérieures.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues et dérivables sur un intervalle $\mathbb{I}$ de $\mathbb{R}$ .
Soient $a,b\in\mathbb{I}$ , alors :

$\displaystyle \boxed{\int_{a}^{b}u'(t)v(t)\;dt \;=\; \big[u(t)v(t)\big]_a^b \,- \int_a^b u(t)v'(t)\;dt}$

La démonstration de ce résultat est immédiate en intégrant $(uv)'=\,u'v+uv'$ entre $a$ et $b$ , puis en utilisant la linéarité de l’intégrale :
$\int_a^b (uv)'(t)\;dt\;=\;\int_a^b \left( u'(t)v(t)+u(t)v'(t)\right)\,dt \\ \Leftrightarrow \; \big[u(t)v(t)\big]_a^b \;=\; \int_{a}^{b}u'(t)v(t)\;dt \;+\; \int_a^b u(t)v'(t)\;dt$

Exemple d’application :

Utiliser une intégration par parties pour calculer $\int_1^x \ln(t)\,dt$ et ainsi retrouver une primitive de $x\mapsto \ln(x)$

Solution :

On réalise l’IPP en posant $u'(t) = 1$ ( $u(t) = t$ ) et $v(t) = \ln(t)$ ( $v'(t) = \frac{1}{t}$ ) , et on obtient :

$\begin{aligned} \int_1^x \ln(t)\;dt \;&=\; \big[t\ln(t)\big]_1^x - \int_1^x t\times\frac{1}{t}\;dt \\&=\;x\ln(x)-1\ln(1)-\big[t\big]_1^x \\&=\;x\ln(x)-x+1 \end{aligned}$

Une primitive de la fonction $\ln$ est donc $x\mapsto x\ln(x)-x+1$ ou, plus simplement, $x\mapsto x\ln(x)-x$ (la constante n’intervenant pas lors de la dérivée).

Vous avez désormais toutes les connaissances requises pour effectuer cette démonstration.

Pi est irrationnel ainsi que tan(r) si r est rationnel

Le but de l’exercice est de montrer que $\pi$ est irrationnel en montrant que $\tan r$ l’est également si $r \in \mathbb{Q^*}$ .

Soit $r=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q^*} \setminus (\frac{\pi}{2}\mathbb{Z})$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N^*}$
( l’ensemble des rationnels privé de tous les nombres de la forme $k\frac{\pi}{2}$ , $k\in\mathbb{Z}$ )

On suppose par l’absurde que $\tan r$ est rationnel, c.à.d que $\tan r = \frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N^*}$ .

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on note $f_n$ la fonction $\displaystyle x \mapsto f_n(x)=\frac{(2ax-bx^2)^n}{n!}$ et on pose : $\displaystyle I_n=\int_{0}^{2r} f_n(x)\sin x \,dx$

1/ a) Que valent le minimum et le maximum de la fonction $x \mapsto 2ax-bx^2$ sur $[0,2r]$ ?
(On rappelle que $r=\frac{a}{b}$ )

b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $|I_n| \leq \left(\frac{a^2}{b}\right)^n \cdot\frac{2r}{n!}$

2/ Soit $x\in\mathbb{R}$ , on pose $\displaystyle u_n=\frac{x^n}{n!}$ et $\displaystyle v_n = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Montrer que la suite $v$ converge vers 0 et en déduire que la suite $u$ converge vers 0 (attention à le démontrer rigoureusement !). Conclusion pour la suite $(I_n)$ ?

3/ a) Exprimer $I_0$ et $I_1$ en fonction de $\cos r$ et $\sin r$ . Montrer que $I_0 \neq 0$ .

b) Que valent $f_n$ et $f'_n$ en $\displaystyle 0$ et $2r$ ? En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}\geq2$ , $\displaystyle I_n=-\int_{0}^{2r} f''_n(x)\sin x \, dx$

c) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $f''_{n+2}=4a^2f_n-(4n+6)bf_{n+1}$

d) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $I_{n+2}=-4a^2I_n+(4n+6)bI_{n+1}$

e) En déduire l’existence pour tout $n\in\mathbb{N}$ , de deux entiers $a_n,b_n\in\mathbb{Z}$ pour lesquels :

$I_n=(a_n\cos r + b_n \sin r)\cdot 2\sin r$

f) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\displaystyle \frac{qI_n}{\sin(2r)}\in\mathbb{Z}$
(Commencer par justifier l’existence de ce quotient.)

4/ Montrer que les résultats précédents contredisent la proposition $I_0 \neq 0$ .
En déduire que : $\forall r \in \mathbb{Q}\setminus (\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}) \; , \; \tan r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (c.à.d que $\tan r$ est irrationnel.)

5/ Conclure pour l’irrationalité de $\pi$ .

Voir la correction

Indices

3/ a)

Pour calculer $I_1$ , utilisez une intégration par parties.

3/b)

S’aider encore une fois d’une IPP

3/ e)

On pourra s’aider d’un raisonnement par récurrence « double ».
C.à.d pour une certaine propriété $P$ supposer à un rang $n$ donné que l’on a $P(n)$ et $P(n+1)$ ; et montrer que cela implique alors $P(n+2)$

Utilisez, entre autres, le résultat des questions 2/ et 3/ d)