Correction Module 1 : Exercice 1

Repartons de la suite $(u_n)$ définie comme suit :

$u_n=1+3+5+...+(2n-1)$

Et calculons ses premiers termes : $u_1=1,u_2=4,u_3=9,u_4=16,u_5=25...$

Ce que l’on attend en calculant les premiers termes de la suite, c’est si nous pouvons apercevoir un pattern (mot anglais désignant un motif récurrent, un « schéma ») se dessiner dans la suite. En voyez-vous un ?

rang 1 –> 1 , rang 2 –> 4 , rang 3 –> 9 , rang 4 –> 16, rang 5 –> 25 , etc…

Il semblerait que les rangs de la suite coïncident avec les carrés des entiers. Nous pouvons donc conjecturer que pour tout entier $n$ non nul, $u_n=n^2$

Bien ! Ce n’est pas tout d’avoir émis une conjecture, encore faut-il pouvoir la démontrer. C’est ici que le raisonnement par récurrence va nous servir. Soit P la propriété « Pour tout entier $n$ non nul, $u_n=n^2$ . »

Initialisation : $u_1=1=1^2$ donc P(1) est vraie

Hérédité : On suppose que la propriété P(n) est vraie pour un rang $n$ donné, c’est-à-dire qu’on a trouvé un entier $n$ tel que $u_n=n^2$ . Montrons qu’alors P(n+1) est également vraie (c.à.d que $u_{n+1}=(n+1)^2$ ).

$u_{n+1}=1+3+5+...+(2n-1)+2(n+1)-1$
$= u_{n}+2(n+1)-1$
$= u_n+2n+1$ or d’après notre hypothèse de récurrence, $u_n=n^2$

D’où :
$u_{n+1}=n^2+2n+1$ et $n^2+2n+1=(n+1)^2$

On a donc bien $u_{n+1}=(n+1)^2$ : P(n+1) est vraie.
La propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence on a montré que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=n^2$

Encore une fois, la seule difficulté cet exercice était de conjecturer la valeur de la suite en fonction de $n$ , la démonstration en elle-même n’était pas compliquée. Maintenant que vous êtes plus à l’aise avec le raisonnement par récurrence, je vous propose de passer à la suite !

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