Correction Module 1 : Exercice 1
Repartons de la suite définie comme suit :
Et calculons ses premiers termes :
Ce que l’on attend en calculant les premiers termes de la suite, c’est si nous pouvons apercevoir un pattern (mot anglais désignant un motif récurrent, un « schéma ») se dessiner dans la suite. En voyez-vous un ?
rang 1 –> 1 , rang 2 –> 4 , rang 3 –> 9 , rang 4 –> 16, rang 5 –> 25 , etc…
Il semblerait que les rangs de la suite coïncident avec les carrés des entiers. Nous pouvons donc conjecturer que pour tout entier non nul,
Bien ! Ce n’est pas tout d’avoir émis une conjecture, encore faut-il pouvoir la démontrer. C’est ici que le raisonnement par récurrence va nous servir. Soit P la propriété « Pour tout entier non nul,
. »
Initialisation : donc P(1) est vraie
Hérédité : On suppose que la propriété P(n) est vraie pour un rang donné, c’est-à-dire qu’on a trouvé un entier
tel que
. Montrons qu’alors P(n+1) est également vraie (c.à.d que
).
or d’après notre hypothèse de récurrence,
D’où : et
On a donc bien : P(n+1) est vraie.
La propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence on a montré que pour tout entier naturel non nul, on a
Encore une fois, la seule difficulté cet exercice était de conjecturer la valeur de la suite en fonction de , la démonstration en elle-même n’était pas compliquée. Maintenant que vous êtes plus à l’aise avec le raisonnement par récurrence, je vous propose de passer à la suite !