Correction Module 1 : Exercice 1

 

Repartons de la suite (u_n) définie comme suit :

u_n=1+3+5+...+(2n-1)

Et calculons ses premiers termes : u_1=1,u_2=4,u_3=9,u_4=16,u_5=25...

Ce que l’on attend en calculant les premiers termes de la suite, c’est si nous pouvons apercevoir un  pattern  (mot anglais désignant un motif récurrent, un « schéma ») se dessiner dans la suite. En voyez-vous un ?

rang 1 –> 1 , rang 2 –> 4 , rang 3 –> 9 , rang 4 –> 16,  rang 5 –> 25 , etc…

Il semblerait que les rangs de la suite coïncident avec les carrés des entiers. Nous pouvons donc conjecturer que pour tout entier n non nul, u_n=n^2

Bien ! Ce n’est pas tout d’avoir émis une conjecture, encore faut-il pouvoir la démontrer. C’est ici que le raisonnement par récurrence va nous servir. Soit la propriété « Pour tout entier n non nul, u_n=n^2 . »

Initialisation :    u_1=1=1^2   donc P(1) est vraie

Hérédité : On suppose que la propriété P(n) est vraie pour un rang n donné, c’est-à-dire qu’on a trouvé un entier n tel que u_n=n^2 . Montrons qu’alors P(n+1) est également vraie  (c.à.d que  u_{n+1}=(n+1)^2  ).

u_{n+1}=1+3+5+...+(2n-1)+2(n+1)-1
            = u_{n}+2(n+1)-1
            = u_n+2n+1                       or d’après notre hypothèse de récurrence,  u_n=n^2

D’où :
u_{n+1}=n^2+2n+1               et          n^2+2n+1=(n+1)^2

On a donc bien   u_{n+1}=(n+1)^2  :  P(n+1) est vraie.
La propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence on a montré que pour tout entier naturel n non nul, on a  u_n=n^2

 

Encore une fois, la seule difficulté cet exercice était de conjecturer la valeur de la suite en fonction de n, la démonstration en elle-même n’était pas compliquée. Maintenant que vous êtes plus à l’aise avec le raisonnement par récurrence, je vous propose de passer à la suite !

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