Correction Module 1 : Exercice 2
Nous devons donc montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ,
Ce sera notre propriété P(n) .
Initialisation : Au rang 0, la quantité de droite vaut 1 (produit des 0+1 = 1 premiers entiers impairs), et :
La propriété est vraie au rang 0 , passons à l’hérédité.
Hérédité : On suppose avoir trouvé un entier naturel tel que la propriété P(n) soit vraie. Montrons qu’elle est alors vraie au rang
, c’est-à-dire que :
On retrouve le résultat cherché : P(n+1) est vraie, la propriété est donc héréditaire.
Par le principe de récurrence on a montré que pour tout entier naturel , on a :