Correction Module 1 : Exercice 2

Nous devons donc montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $1\times3\times5\times...\times(2n+1)\,=\,\frac{(2n+1)!}{2^n\times(n!)}$
Ce sera notre propriété P(n) .

Initialisation : Au rang 0, la quantité de droite vaut 1 (produit des 0+1 = 1 premiers entiers impairs), et : $\frac{(2\times0+1)!}{2^0\times(0!)}=\frac{1!}{1\times(1!)}=1$

La propriété est vraie au rang 0 , passons à l’hérédité.

Hérédité : On suppose avoir trouvé un entier naturel $n$ tel que la propriété P(n) soit vraie. Montrons qu’elle est alors vraie au rang $n+1$ , c’est-à-dire que : $1\times3\times5\times(2n+1)\times(2(n+1)+1)=\frac{(2(n+1)+1)!}{2^{n+1}\times(n+1)!}$

$\displaystyle \begin{aligned} 1\times3\times5\times...\times(2n+1)\times(2(n+1)+1)} &=\frac{(2n+1)!}{2^{n}\times (n!)}\times(2(n+1)+1) \qquad \quad d'apr\`{e}s \, notre\, hypoth\`{e}se\, de\, r\'ecurrence& \\ \\ &=\frac{(2n+1)!}{2^{n}\times (n!)}\times(2n+3)\times\frac{2n+2}{2n+2}& \\ \\ &=\frac{(2n+1)!\times(2n+2)\times(2n+3)}{2^{n}\times (n!)\times(2n+2)}& \\ \\ &=\frac{(2n+3)!}{2^{n}\times (n!)\times2(n+1)} \qquad \qquad d'apr\`{e}s \; la \; d\'efinition \; des \; factorielles & \\ \\ &=\frac{(2(n+1)+1)!}{2^{n+1}\times (n+1)!} & \end{aligned}$

On retrouve le résultat cherché : P(n+1) est vraie, la propriété est donc héréditaire.

Par le principe de récurrence on a montré que pour tout entier naturel $n$ , on a :

$\displaystyle 1\times3\times5\times...\times(2n+1)=\frac{(2n+1)!}{2^n\times (n!)}$

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