Correction Module 1 : Exercice 3

 

 Dans l’initialisation, nous avons montré que la propriété P(n) est vraie au rang 1 ; autrement dit, que « quel que soit l’ensemble des 1 crayons de couleurs choisi, tous ces crayons seront de la même couleur ».

 

Remarque : Ne soyez pas choqué de l’emploi du pluriel pour un seul élément ; les concepts de « singulier » et « pluriel » sont difficilement utilisables en mathématiques, si bien qu’on ne les distingue souvent pas (cela permet de généraliser sans se créer une barrière inexistante à cause de l’imprécision du langage). Par exemple, devons-nous utiliser le singulier ou le pluriel pour 0,5 élément(s) …?
Il est possible d’éviter ces problèmes de langage en utilisant des considérations d’ensembles de crayons, mais inutile d’alourdir l’énoncé pour si peu.

 

Pour que le raisonnement utilisé dans ce problème soit valide, il existe une condition sine qua non sur l’hérédité : l’entier n considéré doit être supérieur ou égal à deux ! En effet pour conclure que les n+1 crayons sont tous de la même couleur en sachant que les n premiers et les n derniers sont de la même couleur, il faut qu’au moins un crayon soit commun aux n premiers et n derniers : on ne peut rien conclure sinon.

 

Pour n=1 :

 

 

Les « n premiers » sont de la même couleur et les « n derniers » crayons également, mais on ne peut rien en déduire pour l’ensemble des deux crayons. L’hérédité requiert donc un entier n supérieur ou égal à deux.

 

Pour en revenir au parallèle avec les dominos que nous avons fait dans l’introduction, c’est comme si nous avions tous les dominos disposés correctement à partir du deuxième, et que le premier était tout seul dans son coin. Faire tomber le premier n’induirait alors rien sur le reste des dominos !
De même, si l’on veut que notre démonstration par récurrence puisse marcher, il faut donc initialiser la propriété au rang 2, c’est-à-dire montrer que quels que soient les deux crayons de couleur choisis, ils sont tous de la même couleur. Or ce n’est pas vrai !

(On pourrait même remarquer que, dans un monde où quels que soient les deux crayons choisis, ceux-ci seraient toujours de la même couleur, il ne serait pas affolant d’en déduire qu’il n’existe en fait qu’une seule couleur de crayon !)

 

 

Ce problème vous donne un exemple de l’importance de la cohérence du raisonnement : attention à bien vérifier que toutes les conditions sont remplies, et que votre initialisation permet de conclure par récurrence avec votre hérédité. Quand nous verrons les récurrences doubles, triples ou récurrences fortes dans un prochain module, il faudra d’autant plus y penser !

 

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