Module 2 : Introduction aux sommes

par

Dans ce second module, vous allez apprendre à manipuler les sommes en utilisant leur notation formelle. Bien que celle-ci puisse donner l’impression de compliquer les choses au premier abord, vous en comprendrez vite l’utilité quand vous serez amené à faire des calculs plus complexes. S’il s’agit de la première fois que vous êtes amené à utiliser ce symbole, certains passages de ce module pourront vous sembler difficiles à appréhender au début ; accrochez-vous, prenez votre temps, et n’oubliez pas que c’est en faisant un effort de compréhension que l’on progresse en mathématiques !
Ces notations ne sont pas obligatoires au lycée, mais elles seront en revanche indispensables dans le supérieur. 

Si vous connaissez déjà bien la notation d’une somme et que vous vous estimez assez familier avec la manipulation de ce symbole (télescopage, changement d’indice…), vous pouvez passer l’introduction et vous rendre directement à l’exercice 2. N’hésitez cependant pas à lire cette introduction si vous en ressentez l’envie ; des rappels ne peuvent qu’être bénéfiques. 

Introduction :


Définition
:

La notation de la somme utilise une lettre grecque stylisée, le sigma majuscule ( Σ ).  
Elle est accompagnée de la somme à effectuer, qui se trouve juste devant, ainsi que d’une indication expliquant où commence cette somme (limite inférieure de sommation : en bas du sigma), et où elle se termine (limite supérieure de sommation : en haut du sigma). Par exemple, la somme des entiers naturels jusqu’à n s’écrira :

\\[1+2+3+\\;.\\;.\\;.\\;+n\\;=\\sum_{k=0}^{n} k\\]
La lettre « k » est appelée indice de sommation, elle prendra toutes les valeurs intermédiaires entre et n. À noter qu’on aurait aussi bien pu faire commencer k à 1 au lieu de 0, zéro n’influant ici pas sur le résultat de la somme. On lira ici « somme des k pour k variant de à n ».

Plus généralement, pour tous réels   a_m\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{m+1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{m+2}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;\\;\\;.\\;.\\;.\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{n-1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_n  , et pour tous entiers naturels m, n tels que   m\\;\\leq\\;n  , on note :

\\[a_m\\;+\\;a_{m+1}\\;+\\;a_{m+2}\\;+\\;.\\;.\\;.\\;+\\;a_{n-1}\\;+\\;a_n\\;=\\sum_{k=m}^{n} a_k\\]
(« Somme des a indice k pour k variant de m à n »)

À noter qu’il n’existe pas qu’une seule manière d’écrire une somme. Par exemple, la somme des n premiers entiers impairs (comme vu dans le module 1) peut s’écrire de deux façons « intuitives » différentes :

\\[\\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)\\;\\;\\;\\;=\\;\\sum_{k=1}^{n} (2k-1)\\]

Je vous laisse vérifier qu’il s’agit bien de la même somme si vous n’en êtes pas convaincu. On a ici effectué ce qui s’appelle un « changement d’indice », une méthode qui permet de manipuler une somme de façon très pratique pour mettre en évidence ce que l’on cherche à montrer. Cette méthode, ainsi que celle dite du « télescopage », sont des fondamentaux du calcul de somme et doivent impérativement être maîtrisées pour la poursuite de vos études post-bac. Pas d’inquiétude, nous les verrons toutes deux dans la suite de ce module, ainsi qu’une application pratique pour chacune d’elle.

Concernant la notation d’un produit, comme celle que vous avez pu apercevoir dans le module précédent, il s’agit du même fonctionnement : remplacez simplement le Sigma par un Pi majuscule ( Π ).
Ainsi, le produit des entiers naturels non nuls jusqu’à n (c.à.d la factorielle de n) se note :

\\[n!\\;\\;=\\;\\;1\\times2\\times3\\times\\;.\\;.\\;.\\;\\times n\\;\\;\\;=\\prod_{k=1}^{n} k\\]     (produit des k pour k variant de à n)

 

Remarque : Le « k » utilisé dans ces deux notations est un indice de sommation dit « muet ». Cela signifie que vous pouvez le remplacer par n’importe quelle autre lettre ou symbole (n’étant pas déjà utilisé ailleurs, sous peine de créer une confusion). Ainsi si vous préférez, il est parfaitement possible d’écrire :

\\[1+2+3+\\;.\\;.\\;.\\;+n\\;=\\sum_{k=0}^{n} k\\;\\;\\;\\;=\\sum_{i=0}^{n}i\\;\\;\\;\\;=\\sum_{j=0}^{n}j\\]

Retenez bien ce point, il sera important quand nous verrons la méthode du changement d’indice.

 

 

Règles de calculs sur les Sommes :

Soient   a_m\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{m+1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{m+2}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;\\;\\;.\\;.\\;.\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_{n-1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;a_n    et    b_m\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;b_{m+1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;b_{m+2}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;\\;\\;.\\;.\\;.\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;b_{n-1}\\;\\;\\;\\;,\\;\\;\\;\\;b_n   deux familles de nombres réels quelconques, m et n deux entiers naturels tels que  m\;\leq\;n   :

\[\sum_{k=m}^{n} (a_k \;+\;b_k)\;\;\;=\sum_{k=m}^{n} a_k\;\;\;\;\;+\;\sum_{k=m}^{n} b_k\]

On a de plus, pour toute constante réelle  \\lambda  :

\\[\\sum_{k=m}^{n} (\\lambda a_k)\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\lambda\\;(\\sum_{k=m}^{n} a_k)\\]

Ces deux propriétés traduisent la linéarité de l’addition (la dernière propriété n’étant en fait qu’une simple factorisation).

On a également :

\\[\\sum_{k=m}^{n} \\lambda\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\;\\lambda\\;\\sum_{k=m}^{n} 1\\;\\;\\;\\;=\\;\\;\\lambda\\;(n-m+1)\\]

(n-m+1)   étant le nombre de termes dans la somme. On a par exemple :

\\[\\sum_{k=0}^{4} 2\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\;2\\;\\sum_{k=0}^{4} 1\\;\\;\\;\\;=\\;2\\;(1+1+1+1+1)\\;\\;=\\;\\;2\\;(4-0+1)\\;\\;=\\;\\;10\\]

Il est aussi possible de séparer une somme en deux, voire en autant de parties que vous souhaitez du moment que la valeur de la somme reste inchangée :

\[\sum_{k=0}^{n}a_k\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\sum_{k=0}^{m-1}a_k\;\;\;\;\;+\;\sum_{k=m}^{n}a_k \]


Méthode : Utiliser un changement d’indice

Pour effectuer un changement d’indice, on définit un nouvel indice en fonction du précédent. On ajuste ensuite les bornes inférieure et supérieure de la somme en tenant compte des modifications pour ne pas perturber la valeur de la somme.
En guise d’exemple, reprenons la somme des impairs et effectuons le changement d’indice  i\\;=\\;k+1  :

\\[\\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)\\;\\;\\;\\;=\\;\\sum_{i=0+1}^{(n-1)+1} (2(i-1)+1)\\]
On remplace k en fonction de i ; on a  k\\;=\\;i-1 , on remplace ensuite les bornes : puisque  i\\;=\\;k+1 , si k varie de à (n-1), alors i variera de 1 à n. D’où :

\\[\\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)\\;\\;\\;\\;=\\;\\sum_{i=1}^{n} (2i-1)\\]

Or si vous vous souvenez, nous avons dit il y a peu que l’indice de sommation est muet. Autrement dit la lettre utilisée n’a pas d’importance : on peut donc remplacer le « i » du membre de droite par un « k » si on le souhaite.
On obtient donc, comme précédemment :

\\[\\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)\\;\\;\\;\\;=\\;\\sum_{k=1}^{n} (2k-1)\\]
En l’occurrence, ce changement d’indice ne nous avance pas à grand chose, mais il s’agissait uniquement d’un exemple pour que vous compreniez bien ; vous verrez que cette méthode est parfois indispensable. À force d’en faire, ces changements vous viendront instinctivement, sans avoir besoin de poser les étapes intermédiaires. Mais pour le moment, je vous conseille de bien détailler ce que vous faites pour être sûr d’avoir compris chacune de vos actions.


Méthode : Utiliser un télescopage

Il vous arrivera parfois de rencontrer des expressions à sommer de la forme   u_{k+1}\;-\;u_k  . Il se produit alors un télescopage, c.à.d une succession de simplifications éliminant le plus gros de la somme et facilitant son calcul (le plus souvent, il restera les deux termes extrêmes : le premier et le dernier) :

\\[\\sum_{k=m}^{n} (u_{k+1}\\;-\\;u_k)\\;\\;=\\sum_{k=m}^{n} u_{k+1}\\;\\;\\;-\\sum_{k=m}^{n} u_{k}\\]

                                      \\[\\ =\\;\\;(\\sout{u_{m+1}}+\\sout{u_{m+2}}+\\;.\\;.\\;.\\;+\\sout{u_{n}}+u_{n+1})\\;\\;-\\;\\;(u_{m}+\\sout{u_{m+1}}+\\;.\\;.\\;.\\;+\\sout{u_{n-1}}+\\sout{u_{n}})\\]

                                      \\[\\ =\\;\\;u_{n+1}\\;-\\;\\;u_m\\]

 

Exemple concret :   On s’intéresse à la somme   S_n  définie pour tout entier naturel non nul par :

\[S_n\;\;\;=\sum_{k=1}^{n}\;\;\frac{1}{k\,(k+1)} \]

En remarquant que          \frac{1}{k\,(k+1)}\;\;=\;\;\;\frac{1}{k}\;-\;\frac{1}{k+1}    , calculer  S_n  .

On remplace dans   S_n  et on obtient une somme télescopique :

\[S_n\;\;=\sum_{k=1}^{n}(\; \frac{1}{k}\;\;-\;\;\frac{1}{k+1}\;)\;\;=\;\;(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\;.\;.\;.\;+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})\;-\;(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}) \]
=\;\;1\;-\;\;\frac{1}{n+1}

\;\;\;=\;\;\;\frac{n}{n+1}

 On a ici effectué une décomposition en éléments simples pour séparer la fraction et pouvoir calculer la somme par télescopage. C’est une méthode efficace que vous emploierez à maintes reprises lors de vos études supérieures ; que ce soit pour calculer une somme, trouver des primitives à une fonction sous forme de fraction ou faire du calcul d’intégrales. Je ne vous demande pas de retenir cette méthode pour le moment, les décompositions vous seront données si vous en rencontrez (retenez en revanche les méthodes de changement d’indice et de télescopage). 

Je vous répète encore une fois que si vous ne vous sentez pas totalement familier avec le fonctionnement des sommations pour le moment, cela est normal. Relisez jusqu’à comprendre, et prenez le temps d’effectuer correctement les exercices sans regarder la correction ; rien de tel pour progresser et se familiariser avec de nouveaux concepts.

Si vous avez compris l’essentiel, les exercices vous attendent !

 

Exercice 1 : Sommes classiques

On s’intéresse aux suites de la somme des entiers naturels ( notée S_n ) et de la somme des puissances successives d’un réel q différent de ( notée  P_n ), définies pour tout entier naturel n par :

\[S_n\;=1+2+3+\;.\;.\;.\;+\;(n-1)\;+\;n\;\;\;=\sum_{k=0}^{n}k\\  \]

\[P_n\;=\;\;1+q+q^2+q^3+\;.\;.\;.\;+q^n\;\;=\sum_{k=0}^{n}q^k\\  \]

En  cours, vous avez probablement déjà vu la formule permettant de calculer la somme des entiers naturels jusqu’à n. Votre professeur vous en a peut-être même fait la démonstration, vous racontant la légende de comment Carl Friedrich Gauss, alors âgé de sept ans, aurait impressionné son professeur d’école en trouvant comment calculer la somme des 100 premiers entiers naturels ( S_{100} ) de tête. L’astuce consistait à remarquer que si vous écrivez la somme des cent premiers entiers naturels, et leur ajoutez cette même somme écrite à l’envers, vous obtenez une somme constituée de 100 termes valant tous 101 :

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\;\;+\;\;\;2\;\;+\;\;\;3\;+\;.\;.\;.\;+98+99+100 \\ +100+99+98+\;.\;.\;.\;+\;\;\;3\;\;+\;\;\;2\;\;+\;\;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;101+101+101+\;.\;.\;.\;+101+101

Vous avez donc   S_{100}+S_{100}\;\;=\;\;2\;S_{100}\;\;=\;100\times101  ,
D’où        S_{100}\;\;=\;\frac{100\times101}{2}\;\;=\;\;5050

Bien entendu la démonstration marche de la même manière dans le cas général ; vous obtiendrez toujours une somme de n termes valant chacun (n+1) . D’où la fameuse formule que vous connaissez déjà sûrement :
S_{n}\;\;=\;\;\frac{n\,(n+1)}{2} Cette démonstration, bien que correcte, est loin d’être rigoureuse. L’utilisation des points de suspension peut, dans certains cas, mener à des confusions et des erreurs qui auraient pu être aisément évitées grâce à l’emploi de la notation formelle. Dans cet exercice on se propose de redémontrer formellement la formule explicite de la somme des entiers naturels ainsi que celle des puissances successives d’un réel quelconque différent de 1 (ces deux sommes étant vues en Première S).
À noter qu’une démonstration par récurrence ferait parfaitement l’affaire en terme de rigueur ; cependant, le but de ces exercices étant de vous apprendre à utiliser les sommes, il n’y a que peu d’intérêt à utiliser cette méthode ici (le gros désavantage étant qu’utiliser une récurrence nécessite d’avoir une idée précise de la forme du résultat, ce qui ne sera pas toujours le cas).


\[S_n\;\;=\sum_{k=0}^{n}k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;n\in \mathbb{N}  \]

1/ a) En utilisant le changement d’indice   h\;=\;n-k  , exprimer  S_n  en fonction d’elle-même et retrouver ainsi sa valeur explicite en fonction de n . Par convention, on préférera écrire la somme variant du plus petit entier au plus grand, c’est-à-dire que :

\[\sum_{h=n}^{0} a_h\;\;\;=\sum_{h=0}^{n} a_h\]

    b) À l’aide du calcul de somme, retrouver la valeur de la somme des n premiers entiers impairs vue dans le module 1, définie par :

\[\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\\  \]

 


 

\[P_n\;=\sum_{k=0}^{n}q^k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;q\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;q\;\;\neq\;\;1   \]

 

2/ Former la différence  P_n\;-\;qP_n  et simplifier l’expression obtenue à l’aide d’un télescopage. En déduire la valeur de  P_n .


Voir la correction

Indice

 

1/ a)\[S_n\;\;\;=\sum_{k=0}^{n} k\;\;\;=\sum_{h=0}^{n} h\]

 

et n est une constante ne dépendant pas d’un autre paramètre…

Exercice 2 : Étude d'une suite

 

Pour tout entier naturel n non nul, on pose

\[u_n\;\;=\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k} \]

1/ Montrer que la suite  (u_n)  est croissante.

( Attention à bien le montrer de manière rigoureuse ! Une erreur d’inattention est vite arrivée… )

 

2/ Montrer par récurrence que pour tout  n\in \mathbb{N}* , 

\[u_n\;\;=\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k} \]

 

Essayez de le faire sans réutiliser le résultat de la première question ; à faire directement en partant de  u_{n+1}  , l’hérédité de cette récurrence est d’un niveau bien plus élevé que les exercices que je vous ai proposés jusqu’à maintenant. Prenez votre temps, faites preuve d’initiative et détaillez bien votre rédaction pour ne pas vous perdre dans les calculs. Pensez également à bien vérifier la rigueur de vos étapes intermédiaires pour éviter qu’une faute d’inattention ne s’y glisse par mégarde : il est toujours plus pénible de retrouver une faute cachée dans un calcul que d’aller plus lentement pour éviter d’en faire.
Des indices sont à votre disposition pour vous guider en cas de besoin, bon courage !

 

Voir la correction

Indices

1/ Former la différence u_{n+1}\;\;-\;\;u_n  et la simplifier à l’aide d’un télescopage.

 

 

2/ Exprimer  u_{n+1}  en fonction de  u_{n} , en utilisant un changement d’indice et en séparant la somme pour faire apparaître  u_{n}  .

 

 

 

Vérifier que :

\[u_{n+1}\;\;\;\;=\;\;\;\(\;u_n\;\)\;\;\;+\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;-\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]