Correction Module 2 : Exercice 1

 

1/ a) On pose  h\;=\;n-k ,  donc  k\;=\;n-h .  On remplace dans   S_n  :

\[S_n\;=\sum_{k=0}^{n}(n-h)\\  \]
On remplace les bornes : k variant de à n ;  h variera de n-0\,=\,n  à  n-n\,=\,0
 . Par convention, on inversera alors les bornes pour que la somme varie du plus petit au plus grand entier (cela ne change bien entendu rien à la valeur de la somme) :

\[S_n\;=\sum_{h=n}^{0}(n-h)\;\;=\sum_{h=0}^{n}(n-h)\\  \]

                                                                                          \[S_n\;=\sum_{h=0}^{n}n\;\;-\sum_{h=0}^{n}h\\  \]

Or       \[\sum_{h=0}^{n}h\;\;=\;\;S_n\\  \]     , on a donc :
\[S_n\;=\sum_{h=0}^{n}n\;\;-\;\;S_n\\  \]
                                                                                             \[\Leftrightarrow\;\;\;\;\;2\;S_n\;=\sum_{h=0}^{n}n\\  \]

                                                                                                                \[=\;\;n\;(\sum_{h=0}^{n}1)\\  \]         car n est fixé (c’est une constante)

                                                                                                                \[=\;\;n\;(n+1)\\  \]

                                                                                              \[\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S_n\;=\;\;\;\frac{n\;(n+1)}{2}\\  \]

 


1/ b) 
On sépare simplement la somme, et on réutilise la valeur de  S_n  que l’on vient d’obtenir :

\[\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;2\;\sum_{k=0}^{n-1}k\;\;\;+\;\sum_{k=0}^{n-1}1\\  \]

                                                                                                                     \[=\;\;\;\;\;\;2\;S_{n-1}\;\;\;+\;\sum_{k=0}^{n-1}1\\  \]

                                                                                                                     \[=\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;\frac{(n-1)\;\times\; n}{2}\;\;\;\;+\;\;n\\  \]

                                                                                                                     \[=\;\;\;\;\;\;n\;(n-1)\;\;\;\;+\;\;n\\  \]

                                                                                                                     \[=\;\;\;\;\;\;n\;(n-1+1)\\  \]

                                                                                                                      \[=\;\;\;\;\;\;n^2\\  \]

 

 

2 /  On forme la différence   P_n\;-\;qP_n  :

\[P_n\;-\;qP_n\;\;\;=\sum_{k=0}^{n}q^k\;\;\;\;-\;\;\;\;q\sum_{k=0}^{n}q^k\\  \]

                                                                                                                 \[=\sum_{k=0}^{n}q^k\;\;\;\;-\sum_{k=0}^{n}(q^k\;\times \;q)\\  \]

                                                                                                                 \[=\sum_{k=0}^{n}q^k\;\;\;\;-\sum_{k=0}^{n}q^{k+1}\\  \]

                                                                                                                 \[=\;\;\;\;\;\;q^0\;\;-\;\;q^{n+1}\\  \]                   (par télescopage)

                                                                                        \[P_n\;-\;qP_n\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;1\;-\;q^{n+1}\\  \]

                                                                              \[\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_n\;(1\;-\;q)\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;1\;-\;q^{n+1}\\  \]                    et   q\;\;\neq \; \;1

 

                                                                              \[\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_n\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\frac{1\;-\;q^{n+1}}{1\;-\;q}\\  \] 

 

Si c’est la première fois que vous manipulez la notation de somme, félicitations, vous venez de démontrer vos premiers résultats d’algèbre de manière formelle ! Ces résultats sont à connaître, apprenez-les si vous ne les connaissez pas déjà ; ils vous serviront relativement souvent. 
Maintenant que les sommes n’ont plus de secrets pour vous, vous pouvez passer à la suite.

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