Correction Module 2 : Exercice 2

 

 

1/  La méthode la plus courante, lorsque l’on souhaite démontrer le sens de variation d’une suite, est de comparer  u_{n+1}  à  u_n . Il existe plusieurs façons de faire ; vous pouvez par exemple comparer le quotient   \frac{u_{n+1}}{u_n}  à  1  (la suite est croissante si le quotient est supérieur à 1, décroissante si inférieur à 1, constante si égal à 1), ou comparer la différence  u_{n+1}\;\;-\;\;u_n  à  .
Dans notre cas nous avons affaire à une somme, il est donc plus simple de calculer la différence et de montrer que celle-ci est supérieure à zéro.

\[u_{n+1}\;\;-\;\;u_n\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\sum_{k=1}^{n+1}\;\;\;\frac{1}{(n+1)\,+\,k}\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k} \]

Intuitivement, on remarque ici une disposition favorable pour un télescopage. Le seul problème étant les bornes qui ne coïncident pas tout à fait ; nous allons donc séparer le dernier terme de la première somme pour faire apparaître un télescopage :
( Il était aussi parfaitement possible de simplifier en utilisant le changement d’indice  h=k+1  à la place d’un télescopage ici ).

\[u_{n+1}\;\;-\;\;u_n\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\(\;\sum_{k=1}^{n+1}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k\,+\,1}\;\)\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k} \]

\[=\;\;\;\;\;\;\(\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k\,+\,1}\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n\,+\,(n+1)\,+\,1}\)\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k} \]

\[=\;\;\;\;\;\;\(\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k\,+\,1}\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\,+\,k}\)\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]

\[=\;\;\;\;\;\;\(\ \frac{1}{2n+1} \;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n+1}\)\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]                     (par télescopage)

\[=\;\;\;\;\;\; \frac{1}{2n+1} \;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\frac{1}{2n+2}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]

\[=\;\;\;\;\;\; \frac{1}{2n+1} \;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]

 

La fonction inverse étant décroissante sur   ]\;0\;\;\;\;\;\;;\;\;+\infty\;[   ,  on a :

2n+1\;\;\;\;<\;\;\;\;2n+2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;>\;\;\;\;\frac{1}{2n+2}

D’où :

\[u_{n+1}\;\;-\;\;u_n\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\; \frac{1}{2n+1} \;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gt  \;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \]

\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; u_n\;\;\;\;\;\lt\;\;\;\;\; u_{n+1}

 

La suite  (u_n)   est donc bien croissante. 

 

 


 

 

2/  On commence par initialiser la propriété. Au rang 1, on a

\[u_1\;\;=\sum_{k=1}^{1}\;\;\;\frac{1}{1\;+\;k}\;\;\;\;=\;\;\;\;\frac{1}{2} \]

\[\sum_{k=1}^{2\times1}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\;=\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;0}}{1}  \;\;+\;\;\frac{(-1)^{\;1}}{2}\;\;=\;\;1  \;-\;\;\frac{1}{2}\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\frac{1}{2}\;\;\;\;=\;\;\;\;u_1 \]

La propriété est donc vraie au rang 1 ; passons à l’hérédité.

 

Supposons avoir trouvé un entier naturel n non nul tel que       \[u_n\;\;=\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k} \]   (hypothèse de récurrence) . Montrons que l’on a alors \[u_{n+1}\;\;=\sum_{k=1}^{2\,(n+1)}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k} \] .

 

La première chose à faire dans cette hérédité est d’exprimer  u_{n+1}  en fonction de  u_n  afin de pouvoir utiliser notre hypothèse de récurrence. Vous avez le choix entre deux méthodes ici : soit réutiliser le résultat de la question 1/ , soit retrouver ce résultat uniquement à partir de manipulations sur les sommes en partant de  u_{n+1} . Cette deuxième méthode est nettement plus compliquée, mais elle vous entraînera d’autant plus à manipuler les sommes, et elle a surtout le mérite de pouvoir être utilisée sans avoir besoin de question préliminaire. Commençons par détailler cette seconde méthode, que vous auriez dû utiliser si vous n’aviez pas eu la première question à disposition.

Si vous avez réutilisé le résultat de la question 1/ , félicitations ! Vous avez gagné un temps précieux. Cependant, l’objectif de ce module étant de vous permettre de maîtriser parfaitement l’utilisation de la somme, je vous conseille fortement de faire le calcul en partant de  u_{n+1}  par vous-même avant de regarder la correction.

Tout d’abord, exprimons  u_{n+1}  selon la définition explicite de la suite :

\[u_{n+1}\;\;=\sum_{k=1}^{n+1}\;\;\;\frac{1}{(n+1)\;+\;k}\;\;=\sum_{k=1}^{n+1}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;(k+1)} \]

Le premier problème à régler ici pour retrouver l’expression de  u_n  est d’enlever ce « + 1 » gênant au dénominateur, qui n’est pas présent dans l’expression de base de  u_n . Pour cela, procédons au changement d’indice  h\;=\;k+1 . On obtient :

\[u_{n+1}\;\;=\sum_{h=2}^{n+2}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;h} \]

On notera qu’avoir h ou k en indice ici est sans importance, il est donc possible de remplacer la notation « h » par un « k ».

Nous avons presque retrouvé l’expression de  u_n  ; seules les bornes ne correspondent pas. Nous allons donc procéder à une scission de la somme afin d’ajuster les bornes pour faire apparaître l’expression recherchée :

\[u_{n+1}\;\;=\sum_{k=2}^{n+2}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k} \]

             \[=\;\;\sum_{k=2}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k}\;\;\;\;+\;\;\sum_{k=n+1}^{n+2}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k} \]

             \[=\;\;\sum_{k=2}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k}\;\;\;\;+\;\;\;\;\(\;\;\frac{1}{n+1}\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{1}{n\;+\;1}\;\;\)\;\;\;\;+\;\;\sum_{k=n+1}^{n+2}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k} \]

             \[=\;\;\(\;\;\sum_{k=2}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k}\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n+1}\;\;\)\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{1}{n\;+\;1}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{n+(n+1)}\;\;+\;\;\frac{1}{n+(n+2)} \]

             \[=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\;\;\frac{1}{n\;+\;k}\;\;\)\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{1}{n\;+\;1}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;+\;\;\frac{1}{2n+2} \]

             \[=\;\;\(\;u_n\;\)\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{1}{n\;+\;1}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;+\;\;\frac{1}{2n+2} \]

             \[=\;\;\(\;u_n\;\)\;\;\;\;-\;\;\;2\;\;\;\;\frac{1}{2n\;+\;2}\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;+\;\;\frac{1}{2n+2} \]

             \[=\;\;\(\;u_n\;\)\;\;\;+\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;-\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]

À force de manipulations de la somme, nous avons fini par retrouver l’expression de  u_{n+1}  en fonction de  u_n  . Nous pouvons désormais utiliser notre hypothèse de récurrence et remplacer  u_n  par sa valeur supposée : il ne reste plus qu’à « faire rentrer » les deux autres termes dans la somme, et voir si on obtient bien l’expression attendue pour valider l’hérédité. On a donc :

\[u_{n+1}\;\;\;=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\)\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2} \]         (d’après notre hypothèse de récurrence)

 

Nous avons bien ce que nous attendons au dénominateur des deux termes extérieurs à la suite : il faut maintenant s’occuper du numérateur. Remarquons que  (-1)  à une puissance paire vaut  1, et  (-1)  à une puissance impaire vaut  -1. Autrement dit, pour tout entier naturel p ,    (-1)^{\;2p}\;\;\;=\;\;\;1      et      (-1)^{\,2p-1}\;\,=\;-1  . En particulier :

\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+1)\;-1}}{2n+1}                  et                  -\;\;\frac{1}{2n+2}\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+2)\;-1}}{2n+2}

 

D’où :

\[u_{n+1}\;\;\;=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\)\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+1)\;-1}}{2n+1}\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+2)\;-1}}{2n+2} \]

\[=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+1)\;-1}}{2n+1}\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+2)\;-1}}{2n+2}\;\;\) \]

\[=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{2n+1}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{(-1)^{\;(2n+2)\;-1}}{2n+2}\;\;\) \]

\[=\;\;\(\;\;\sum_{k=1}^{2n+2}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\;\) \]

 

\[u_{n+1}\;\;\;=\;\;\;\;\sum_{k=1}^{2\;(n+1)}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k}\;\; \]

 

La propriété est donc héréditaire. Par le principe de récurrence on a montré que pour tout  n\in \mathbb{N}* ,

\[u_n\;\;=\sum_{k=1}^{2n}\;\;\;\frac{(-1)^{\;k-1}}{k} \]

 

 

En réutilisant le résultat de la question 1/ , on avait directement que :

u_{n+1}\;\;-\;\;\;u_n\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2}

\Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{n+1}\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\;u_n\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+1}\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2n+2}

À partir de là, on retombait sur la même expression qu’en utilisant l’autre méthode, et ce qu’il fallait faire par la suite était identique.

Si vous n’avez pas réussi le calcul en repartant seulement de u_{n+1} , pas de panique, relisez attentivement la correction jusqu’à être bien sûr d’avoir compris chaque étape du calcul. Il est parfaitement normal de ne pas tout comprendre à la correction à la première lecture (il est toujours plus difficile de lire un calcul que de le faire) : prenez le temps qu’il vous faudra, et ne vous découragez pas !
Ce genre de calculs deviendront de plus en plus naturels à force d’en faire ; je continuerai à bien détailler la correction pour vous faciliter sa lecture.

Maintenant que tout le monde maîtrise la récurrence et le calcul de sommes, nous allons enfin pouvoir laisser les exercices calculatoires et passer aux choses sérieuses !

 

 

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