Module 3 : Structures Fractales

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Une figure fractale, ou  « fractale » est un objet mathématique (en première approximation une courbe ou une surface) dont la structure est invariante par changement d’échelle. Cela signifie que peu importe le niveau de « zoom » avec lequel vous regarderez une telle figure, de nouveaux détails apparaîtront toujours. 

Il est possible de trouver plusieurs exemples de structures fractales dans la nature, comme le chou romanesco, la fougère ou le tracé des côtes maritimes. Elles trouvent également des applications dans de nombreux domaines scientifiques tels qu’en médecine (structure des poumons et des réseaux de vaisseaux sanguins), en météorologie, en sciences humaines (évolution de la démographie), en économie et finance (étude des courbes de la bourse et prévisions de krach boursiers), en astronomie (étude de la répartition des galaxies), etc…

Chou romanesco, un exemple de structure fractale naturelle

Les fractales possèdent des propriétés surprenantes (voire parfois franchement contre-intuitives) ; bien que leur étude ne soit pas toujours aisée, je vous propose tout de même d’en étudier quelques unes dans ce module. Une des particularités les plus courantes est celle d’autosimilarité : en zoomant sur une partie d’une fractale autosimilaire, il est possible d’y retrouver l’intégralité de cette même figure, qui se répète à l’infini. C’est par exemple le cas du flocon de Koch et de l’ensemble de Mandelbrot que vous étudierez aujourd’hui.

 Zoom sur la partie supérieure du flocon de Koch

Suite à leur découverte dans les années 1970, les fractales ont également suscité un engouement tout particulier auprès du grand public, dû à l’immanquable beauté artistique de certaines d’entre elles. Il est également surprenant de noter que la plupart de ces figures sont obtenues à l’aide de procédés de construction très simples , que parfois même un enfant serait capable de reproduire. 

Vue partielle de l’ensemble de Mandelbrot

L’ensemble de Mandelbrot, par exemple, est obtenu à l’aide d’une suite numérique dont l’expression tient en deux termes : il s’agit encore d’un exemple du fait que des règles très simples peuvent entraîner des comportements extrêmement complexes.

Si vous vous sentez prêt à vous attaquer plus avant à ces monstres mathématiques que sont les fractales, je vous laisse passer à la suite. Bon courage !

Prérequis :

 

Voici un court récapitulatif des quelques notions mathématiques que vous aurez besoin de connaître pour comprendre et effectuer ces exercices.

Je vous conseille d’avoir au préalable fait les deux modules précédant celui-ci.

 

Exercice 1 : Flocon de Koch

Cet exercice fait appel à des connaissances basiques de géométrie (calculer l’aire d’un triangle) et d’étude de suites numériques (arithmétiques et géométriques).  Aucun soucis donc à ce niveau là, la principale difficulté sera de mobiliser convenablement vos connaissances pour construire un raisonnement.

Vous serez également amenés à devoir manipuler des sommes ; je vous renvoie pour cela au Module 2 si vous ne vous sentez pas assez familiers avec la notation sigma majuscule.

Vous aurez également besoin de pouvoir calculer une limite simple d’une suite numérique lorsque son indice tend vers l’infini. Si la notion de limite de suite vous est totalement inconnue, vous pouvez lire les  A)  et  B)  de la Partie 2 des prérequis du Module 1 (section « Moyen ») avant de commencer les exercices.

 

Exercice 2 : Ensemble de Mandelbrot

Vous aurez besoin de maîtriser quelques bases sur les nombres complexes pour effectuer cet exercice (définition d’un complexe et représentation dans le plan, conjugué et module d’un complexe).

Si vous n’avez jamais entendu parler de nombres complexes, cet exercice vous sera malheureusement inaccessible pour le moment : aucun module n’est actuellement disponible sur le site pour vous enseigner les bases des complexes, et celles-ci sont trop longues pour que je puisse vous les détailler dans cette section prérequis. Revenez faire cet exercice plus tard !

Si vous avez connaissances des notions mentionnées ici, alors vous êtes parfaitement en mesure d’effectuer ces exercices !

Exercice 1 : Flocon de Koch

 

Le flocon de Koch (prononcer : « Kok ») , imaginé en 1904 par le mathématicien suédois Helge Von Koch, est l’une des premières courbes fractales à avoir été décrites (bien avant l’invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot en 1974).

Dans cet exercice, nous allons montrer une propriété assez étonnante que possède le flocon de Koch.


 

 

Construction du flocon de Koch

On applique la transformation suivante à un segment :

La transformation consiste à découper le segment initial en trois segments de même longueur, puis à construire un triangle équilatéral ayant pour base le segment du milieu, et enfin à retirer ce segment servant de base.

On applique ensuite cette même transformation à chaque segment obtenu à l’étape 1 pour passer à l’étape 2 :

Et ainsi de suite :

 

On applique désormais ces transformations en prenant pour figure initiale un triangle équilatéral dont les côtés sont de longueur 1 , et on applique la transformation de façon à ce que l’aire de la figure obtenue soit supérieure à celle de la figure précédente. Soit n un entier naturel, on note  F_0  le triangle équilatéral initial et  F_n  la figure obtenue à l’étape  n .

 

 

On appelle flocon de Koch la figure obtenue après une infinité d’étapes.

 

Dans ce problème, on cherche à étudier le périmètre et l’aire du flocon de Koch.

1) On note  c_n  le nombre de côtés de la figure  F_n . Expliciter la valeur de  c_n  en fonction de n .

2) On note  l_n  la longueur d’un côté de  F_n , et  p_n  le périmètre de F_n . Expliciter la valeur de  p_n  en fonction de n . 

3) a) On note  A_n  l’aire de F_n . Calculer A_0 .
     b) Exprimer  A_{n+1}\\;-\\;A_n  en fonction de n .
     c) En déduire une expression de A_n  en fonction de n .

4) Calculer le périmètre, puis l’aire du flocon de Koch (c’est-à-dire le périmètre et l’aire de F_n lorsque n tend vers l’infini).

5) Conclure.

 

 

Voir la correction

Indices

 

 

 

 

 

2) Commencez par remarquer la relation entre c_n , l_n  et  p_n . Puis, en voyant que (l_{n})_{n\\in \\mathbb{N}}  est une suite géométrique, exprimez-en la valeur en fonction de n , et faites ensuite de même avec p_n .

 

 

 

 

 

 

 

3) cCalculez la somme (A_n\\;-\\;A_{n-1})\\,+\\;.\\;.\\;.+\\,(A_1\\;-\\;A_0)

\\[ \\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,=\\,\\,\\, \\sum_{k=1}^{n}(A_k\\,-\\,A_{k-1}) \\]    de deux manières différentes (on pourra par exemple utiliser un télescopage).

 

Exercice 2 : Ensemble de Mandelbrot

L’ensemble de Mandelbrot, que l’on notera M dans la suite, est probablement la structure fractale la plus importante de toutes les mathématiques. Vous en aurez une représentation visuelle après la fin de l’exercice, ainsi qu’un lien vers une vidéo vous permettant de mieux vous représenter cet ensemble dans le plan complexe.


 

Rappels :

  Soit  (z_n)  une suite complexe. On dit que  (z_n)  est bornée s’il existe  K\\\\in \\\\;\\\\mathbb{R}_+  tel que pour tout  n\\\\,\\\\in \\\\;\\\\mathbb{N} , |z_n|\\\\; \\\\leq \\\\;K

–  Pour tout couple  (z\\\\;,\\\\;z') \\\\;\\\\;\\\\in  \\\\;\\\\;\\\\;\\\\mathbb{C}^2 , on a
|z+z'|\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,\\\\geq\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,\\\\,|z|\\\\,\\\\,-\\\\,\\\\,|z'|

–  L’inégalité triangulaire reste vraie dans \\mathbb{C} . Autrement dit, pour tout  (z\\\\;,\\\\;z') \\\\;\\\\;\\\\in  \\\\;\\\\;\\\\;\\\\mathbb{C}^2 , on a
|z+z'| \\;\\; \\leq \\;\\;|z| \\;+\\; |z'|

 


 

 

Pour tout  c\\\\,\\\\in \\\\,\\\\mathbb{C} , on note  (\\\\,z_n(c)\\\\,)_{n\\\\in \\\\mathbb{N}}   la suite définie par  z_0\\\\,(c)\\\\;=\\\\;0  et :

\\\\[  \\\\forall n \\\\in \\\\mathbb{N} \\\\;\\\\;\\\\;,\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\;\\\\; z_{n+1}(c)\\\\;\\\\;\\\\;=\\\\;\\\\;\\\\;(z_{n}(c))^{\\\\;2} \\\\;\\\\;+\\\\; \\\\;c\\\\]

On notera M l’ensemble des nombres complexes  c  pour lesquels la suite  (\\\\,z_n(c)\\\\,)_{n\\\\in \\\\mathbb{N}}  est bornée. On va démontrer quelques propriétés géométriques simples de cet ensemble.

1) a) Montrer par récurrence que pour tous  c\\\\,\\\\in \\\\,\\\\mathbb{C}  et   n \\\\in \\\\mathbb{N}  :   z_n(\\\\overline{\\\\,c\\\\;})\\\\;\\\\;=\\\\;\\\\;\\\\overline {z_n(c)}
     b) En déduire un axe de symétrie de M (à justifier) . 

Dans la suite, le complexe  c  étant fixé, on notera simplement  (z_n)  la suite (qui dépend de  c ).

2) Montrer que M contient le complexe i .

3) Soit  c\\\\,\\\\in \\\\,\\\\mathbb{C}  pour lequel   |c| \\;\\leq \\;\\;\\;\\frac{1}{4}  . Montrer que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N}  :    |z_n| \\;\\leq \\;\\;\\;\\frac{1}{2}  . Qu’en déduit-on sur M géométriquement ?


4) Soit  c\\\\,\\\\in \\\\,\\\\mathbb{C}  pour lequel   |c| \\;\\;\\g \\;\\;2 .

     a) Montrer que pour tout  n\\in \\mathbb{N}* ,
|z_n| \\;\\;\\geq \\;\\;|c|     b) En déduire que pour tout  n\\in \\mathbb{N}* ,
|z_{n+1}| \\;\\;\\geq \\;\\;\\;2\\,(\\,|z_n|\\,-\\;1\\,)     c) Montrer alors que pour tout  n\\in \\mathbb{N}*,
|z_{n}| \\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;\\;2^{\\,n-1}\\,(\\,|c|\\,-\\;2\\,) \\;+\\; 2     d) En déduire que   c \\;\\;\\;\\notin \\;\\;M , puis que M est inclus dans un disque dont on précisera le centre et le rayon.

 

 

5) a) Soit  c \\,\\in \\,\\mathbb{R} . Montrer que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N} ,  z_n \\,\\in \\,\\mathbb{R} .

     b) Montrer que pour tout  x \\,\\in \\,\\mathbb{R} ,
x^{^2} \\;\\;\\,\\geq \\;\\;x \\;-\\; \\frac{1}{4}     c) Soit    c \\,\\;\\in \\,\\;\\; ]\\;\\;\\;\\frac{1}{4}\\;\\;\\;\\;\\; ; \\;\\;\\;\\;\\;2\\,\\;]  . Montrer que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N}  :
z_{n+1} \\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;z_n \\;+\\; c \\;- \\;\\frac{1}{4}           puis que  :
z_{n} \\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;n \\,\\(c \\;- \\;\\frac{1}{4}\\)

     d) Soit   c \\,\\;\\in \\,\\;\\; [\\;-2\\;\\;\\;\\;\\; ; \\;\\;\\;\\;\\;0\\,\\;] . Montrer que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N} ,
|z_n|\\;\\; \\leq \\;\\;|c|
     e) En déduire l’intersection de M avec l’axe des réels,  M \\cap \\;\\;\\; \\mathbb{R} .

 

 

 6) Soit c\\,\\in M ,   c \\;\\;\\;\\neq  \\;\\;\\;0  . Par définition de M , la suite  (z_n)_{n\\in \\mathbb{N}}  est bornée, mais on ne sait pas par quoi. On va montrer qu’on peut toujours la borner par le réel .

     a) Montrer que l’équation  x^{^2} \\;= \\;x \\,+ \\,|c|  , d’inconnue  x\\,\\in \\;\\mathbb{R}_+ , admet une seule et unique solution \\gamma .
     b) Montrer l’inégalité :   1 \\;\\leq \\;\\gamma \\;\\leq \\;2  .
     c) On pose pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N} ,   \\delta_n \\;=\\; |z_n| \\;-\\; \\gamma . Montrer que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N} ,
\\delta_{n+1} \\;\\;\\;\\geq\\;\\;\\; 2\\gamma\\delta_n           puis :
\\delta_{n+1} \\;\\;\\;\\geq\\;\\;\\; 2\\,\\delta_n
     d) En déduire, en raisonnant par l’absurde, que pour tout   n \\\\in \\\\mathbb{N} ,
|z_n| \\;\\leq \\;\\gamma

 

 

 

Voir la correction

Indice

 

 

6) c) Étudier le signe de \\delta_{n+1}\\;-\\;2\\,\\gamma\\delta_n  en n’oubliant pas que \\gamma vérifie   \\gamma^{^2}\\;=\\;\\gamma\\;+\\;|c|