Correction Module 3 : Ensemble de Mandelbrot

 

1) a) Soit  c\\,\\in \\,\\mathbb{C}  fixé. Pour  n\\,\\in \\;\\mathbb{N} , on note  P(n) \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;:\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;   .
On a bien  P(0)   car  z_0(\\overline{\\,c\\,})\\,\\,=\\,\\,\\,\\,0\\,\\,=\\,\\,\\overline{\\,0\\,}=\\,\\,\\overline{z_0(c)} .
Soit  n\\,\\in \\;\\mathbb{N} . On suppose P(n) , montrons  P(n+1) .  On a :

z_{n+1}(\\bar{\\,c\\,}) = z_n^{^2}(\\bar{\\,c\\,}) + \\bar{\\,c\\,}  \\\\ \\hspace{64}= \\bar{\\,z_n^{^2}(c)\\,} + \\bar{\\,c\\,} \\hspace{30} d'apres \\;\\;\\;P(n) \\\\ =\\bar{\\,z_n^{^2}(c) + c\\,} \\\\ = \\bar{z_{n+1}(c)}

 

    b) On en déduit que l’axe des abscisses est un axe de symétrie de M . En effet, soit  c\\,\\in \\,\\mathbb{C} , la suite  (\\,z_n(c)\\,)  est bornée si et seulement si la suite  \bar{(\,z_n(\,c\,)\,)}\;\,=\;\,(\,z_n(\bar{\,c\,})\,)  est bornée. Ainsi,  c\\in M  ssi  \\bar{\\,c\\,}\\in M .

S’il s’agit de la première fois que vous rencontrez l’abréviation « ssi », retenez-la : c’est d’une abréviation utilisée par bon nombre de professeurs du supérieur signifiant « si et seulement si ».

2) Pour  c=i , on a   z_0\\;=\\;0    ,    z_1\\;=\\;i       z_2\\;=\\;i-1     ,   z_3\\;=\\,-i    ,    z_4\\;=\\;i-1\\;=\\;z_2
La suite est donc 2-périodique à partir du rang 2. Ainsi, on a pour tout  n\\in \\mathbb{N}  :  |z_n|\\;\\; \\leq \\;\\;|i-1|     c.à.d    |z_n|\\;\\; \\leq \\;\\;\\;\\sqrt{2}  . La suite est donc bornée et  i\\;\\in M .

 

3) Pour  n\\in \\mathbb{N}  on pose   P(n)   :    . On a bien  P(0)    car    |z_0|\\;=\\;\\;0\\; \\;\\;\\leq \\;\\;\\;\\frac{1}{2}  .
Soit  n\\in \\mathbb{N} . On suppose  P(n)  , montrons  P(n+1) :

|z_{n+1}| \\;\\;= \\;|z_n^{^2} +c| \\\\ \\hspace{52} \\leq \\;\\;|z_n|^2 \\;+ \\;|c|   \\\\  \\hspace{52}\\leq \\;\\;\\;\\frac{1}{4} \\;+ \\; \\frac{1}{4}D’où  P(n+1) . Ainsi, si   |c| \\; \\leq \\;\\;\\frac{1}{4}  , la suite  (z_n)  est bornée. Cela signifie que M contient le disque fermé de rayon  (1/4)  et de centre  O .

 

4) a)  Pour  n\\in \\mathbb{N}* , on pose   P(n)   :     . On a bien  P(1)  car  |z_1| \\;=\\; |c|  .
Soit  n \\,\\geq \\,1 .  On suppose  P(n)  , montrons  P(n+1)  :

|z_{n+1}| \\;\\;= \\;|z_n^{^2} +c| \\\\ \\hspace{52} \\geq \\;\\;|z_n|^2 \\;- \\;|c|   \\\\  \\hspace{52}\\geq \\;\\;|c|^2 \\;- \\;|c| \\\\ \\hspace{52}\\geq \\,|c|(|c|-1) \\\\ \\hspace{52}\\geq \\;|c|(2-1)D’où  P(n+1) .

     b)  Le résultat est vrai pour n \\,=\\, 0 . Soit  n\\in \\mathbb{N}*  , on a :
|z_{n+1}| \\;=\\; |z_n^{^2} + c| \\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;|z_n|^2 \\;-\\; |c| \\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;|c|\\hspace{0.2}|z_n|\\; -\\; |c|\\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;|c|\\hspace{0.2}(\\,|z_n|\\; -\\; 1\\,)\\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;\\;2\\hspace{0.2}(\\,|z_n|\\; -\\; 1\\,)

     c) Pour  n\\in \\mathbb{N}* , on pose   P(n)    . On a bien  P(1)  car  |z_1| \\;=\\; |c|    et    \\;\\;\\;2^{\\,0}\\,(|c|\\,-\\;2)\\,+\\,2\\;\\;\\;\\;\\;= \\;\\;\\;|c| .
Soit  n \\,\\geq \\,1 .  On suppose  P(n)  , montrons  P(n+1)  :

|z_{n+1}| \\;\\;\\geq \\;2(\\,|z_n|\\,-\\;1\\,) \\\\ \\hspace{52} \\geq \\,2(\\,\\,2^{n-1}\\,(|c|\\,-\\;2)\\,+\\,2\\,-\\,1\\,)   \\\\  \\hspace{52}\\geq \\,2^{n}\\,(|c|\\,-\\;2)\\,+\\,2

D’où  P(n+1) .

d)   |c| \\;\\;\\g \\;\\;2  donc  \\lim_{n\\rightarrow +\\infty} \\;(\\,\\,2^{\\,n-1}\\,(|c|\\,-\\;2)\\,+\\,2\\,\\,) \\;\\;=\\;\\; +\\infty  . Par comparaison,  |z_n|\\;\\rightarrow \\,+\\infty  donc  (\\,|z_n|\\,)  n’est pas bornée. Ceci montre que c \\;\\;\\;\\notin \\;\\;M et finalement que M est inclus dans le disque de centre  O  et de rayon 2.

 

5) a) Pour n\\in \\mathbb{N} , on pose  P(n)  :   . On a bien  P(0)  car  z_0 \\;= \\;0\\; \\;\\in \\;\\mathbb{R} . Soit  n\\in \\mathbb{N} . On suppose P(n) , montrons P(n+1).
On a  z_{n+1}\\;\\;=\\;\\;z_n^{^2}\\;+\\;c\\;\\;\\;\\in \\; \\mathbb{R}   car  z_n\\;\\in \\; \\mathbb{R}  et  c\\;\\in \\; \\mathbb{R} . D’où  P(n+1) .

     b) Soit x\\in \\mathbb{R} . On a   x^{^2}\\;-\\;x\\;+\\;\\frac{1}{4}\\;\\;\\;=\\;\\;\\(x-\\frac{1}{2}\\)^2 \\;\\;\\;\\geq \\;\\;0    donc    x^{^2}\\;\\;\\geq\\;\\;x\\;-\\;\\;\\frac{1}{4}   .

c) Soit n\\in \\mathbb{N} . D’après (5)(b) on a  z_{n+1}\\;\\;=\\;\\;z_n^{^2}\\;+\\;c \\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;\\;z_n \\;- \\;\\frac{1}{4}\\;+\\;c  .  Pour n\\in \\mathbb{N} , on pose  P(n)    . On a bien P(0)  car  z_0\\;=\\;0 .  Soit  n\\in \\mathbb{N} : on suppose P(n) , montrons P(n+1)  :
z_{n+1} \\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;z_n \\;+\\;c \\;- \\;\\;\\frac{1}{4}
Or  z_{n}\\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;n\\,\\(\\,c\\,-\\,\\frac{1}{4}\\,\\)  . On a donc :
z_{n+1}\\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;n\\,\\(\\,c\\,-\\,\\frac{1}{4}\\,\\)\\;+\\;c\\;-\\;\\frac{1}{4}\\;\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\;(n+1)\\,\\(\\,c\\,-\\,\\frac{1}{4}\\,\\)
D’où  P(n+1) .

d) Pour n\\in \\mathbb{N} , on pose P(n)  :   .  On a bien P(0)  car  |z_0|\\;=\\;0\\;\\;\\leq \\;\\;|c| .
Soit n\\in \\mathbb{N} . On suppose P(n) , montrons P(n+1)  :
On a z_{n+1} \\;= \\;z_n^{^2} \\;+\\; c   .  Or  0 \\;\\;\\leq \\;\\;z_n^{^2} \\;\\;\\leq \\;\\;c^2    donc   c \\;\\;\\leq \\;\\;z_{n+1} \\;\\;\\leq \\;\\;c^2 \\;+\\; c  . De plus  c \\;\\in \\;[\\,-2\\;\\;\\;\\;;\\;\\;\\;\\;0\\;\\;]   donc   c^2 \\;\\;\\;\\leq \\,-2c  et finalement  c \\;\\leq \\;z_{n+1} \\;\\leq \\;-c  .  D’où  P(n+1) .

e) Si  c \\;\\;\\;\\;\\g \\;\\;\\;\\;1/4 , alors  c \\;\\;\\;\\notin \\;\\;M .  Si  c \\;\\in \\;[\\,-2\\;\\;\\;\\;;\\;\\;\\;\\;0\\;\\;] ,  c \\,\\in M  et si  c \\;\\in \\;[\\,\\;0\\;\\;\\;\\;;\\;\\;\\;\\;\\;1/4\\;\\;]  , c \\,\\in M  (d’après (3) ).  Finalement :
M\\cap \\mathbb{R} \\;\\;=  \\;[\\,-2\\;\\;\\;\\;;\\;\\;\\;\\;\\;\\frac{1}{4}\\;\\;]

 

6) a) Les solutions de cette équation de degré 2 sont    \\frac{1\\;\\pm\\;\\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|}}{2}    .
Or comme  c \\;\\;\\;\\neq \\;\\;\\;0 ,     \\frac{1\\;-\\;\\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|}}{2} \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\lt \\;\\;\\;\\;\\; 0           et        \\frac{1\\;+\\;\\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|}}{2} \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\g \\;\\;\\;\\;\\; 0 . Cette dernière est donc l’unique solution de cette équation sur \\mathbb{R}_+ .

Il était également possible d’étudier les variations de la fonction sur  \\mathbb{R}_+ et d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Petite précision sur ce théorème : en réalité, ce que vous utilisez pour montrer l’unicité d’une solution lorsque vous êtes face à une fonction strictement monotone sur un intervalle n’est pas le théorème des valeurs intermédiaires mais un de ses corollaires, le théorème de la bijection. Vous ne ferez cependant pas la distinction entre ces deux théorèmes en classe de Terminale.

     b) On a   \\gamma \\;\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\frac{1\\;+\\;\\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|}}{2}  .  Or,  \\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\geq \\;\\;\\;\\;1    donc   \\gamma\\;\\;\\geq \\;\\;1  . De plus,  |c|\\;\\;\\leq \\;\\;2   donc  \\sqrt{\\;1\\;+\\;4|c|} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\leq \\;\\;\\;\\;3  et  \\gamma \\;\\leq \\;2 .

     c) On a :

\\delta_{n+1} \\;\\;\\;\\;=\\;\\;\\; |z_{n+1}|\\;-\\;\\gamma

                                                                                                                    =\\;\\;|z_n^{^2}+c|\\;-\\;\\gamma \\\\ \\geq \\;\\;|z_n|^2\\;-\\;|c|\\;-\\;\\gamma \\\\ \\geq \\;\\;(\\delta_n + \\gamma)^2\\;-\\;\\gamma^2 \\\\ \\geq \\;\\;\\delta_n^{^2}\\;+\\;2\\gamma\\delta_n \\\\ \\geq \\;\\; 2\\gamma\\delta_n

     d) Supposons qu’il existe n\\in \\mathbb{N}  tel que  |z_n| \\;\\;\\;\\g \\;\\;\\;\\gamma . Alors on a  \\delta_n \\;\\;\\;\\g \\;\\;\\;0 , et comme pour tout  k \\;\\geq \\;n   ,  \\delta_k \\;\\;\\geq \\;\\;2^{\\;k-n} \\delta_n  ,  on a \\delta_k \\;\\;\\rightarrow \\,+\\infty   donc   |z_k| \\;\\;\\rightarrow \\,+\\infty  , ce qui est absurde car la suite est bornée par définition de M.

 

 


 

Vous avez pu constater dans cet exercice à quel point la démonstration par récurrence est un outil puissant permettant de montrer un grand nombre de propriétés.

Voici maintenant une représentation de l’ensemble de Mandelbrot dans le plan complexe :

Plutôt classe, non ?

Vous pouvez bien constater que la figure fractale vérifie les propriétés géométriques que nous venons de démontrer. Elle est par exemple comprise dans le disque ayant pour centre l’origine du repère et de rayon 2, elle contient le disque de centre l’origine et de rayon 1/4, et l’intersection avec l’axe des réels s’étend de -2 à 1/4 . Si vous voulez vous représenter un peu mieux l’ensemble de Mandelbrot visuellement, je vous conseille l’excellente vidéo d’El Jj  sur le sujet si vous ne l’avez jamais vue !

 

 

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