1) Puisque chaque côté de la figure en forme quatre nouveaux à l’étape suivante, on en déduit la relation 
. On reconnaît une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 
, ce qui nous donne immédiatement 
pour tout entier naturel 
.
2) On a la relation 
. Par hypothèse de départ, les côtés du triangle équilatéral initial sont de longueur 1 , on a donc 
. La longueur d’un côté est divisée par trois à chaque fois que l’on passe à l’étape suivante, ce qui nous donne la relation suivante : 
. On reconnaît encore une fois une suite géométrique, de raison 1/3 et de premier terme 1 , on a donc pour tout entier naturel : %5En)
. D’où :
%5En%5C%3B%5C%3B%7D)
3) a)
D’après le théorème de Pythagore, la hauteur d’un triangle équilatéral dont les côtés sont de longueurs 
est 
. L’aire de ce même triangle équilatéral est donc 
. D’où, pour :
b) 
représente l’aire des 
triangles équilatéraux de côtés de longueur 
qu’il faut ajouter à 
pour obtenir 
. En réutilisant la formule de l’aire d’un triangle équilatéral de côtés trouvée à la question précédente, on a :
%5E%7Bn%2B1%7D%5C)%5E2)
%5E%7B2n%7D%5Ctimes%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C)%5E2)
%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B3%5E2%7D%5C)%5E%7Bn%7D)
%5E%7Bn%7D%5C%3B%7D)
c) Calculons la somme ![\\[\\sum_{k=1}^{n}(A_k\\,-\\,A_{k-1}) \\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D(A_k%5C%2C-%5C%2CA_%7Bk-1%7D)%20%5C%5D)
de deux manières différentes. Comme conséquence directe du résultat de la question précédente (remplacez-y 
par 
), on a :
![\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\(\;\frac{\sqrt3}{12}\;\times\;\(\frac{4}{9}\)^{k-1}\;\)\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D(A_k%5C%2C-%5C%2CA_%7Bk-1%7D)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5C%3B%5C(%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B12%7D%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C(%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C)%5E%7Bk-1%7D%5C%3B%5C)%5C%5D)
![\[=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12}\;\;\;\;\;\times\;\;\sum_{k=0}^{n-1}\;\(\frac{4}{9}\)^{k}\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B12%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%5C%3B%5C(%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C)%5E%7Bk%7D%5C%5D)
Avec le changement d’indice évident ci-dessus, on reconnaît la somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison 
différente de 1 et de premier terme 
(ou, si vous préférez, des premières puissances successives du réel multipliée par ) . D’où :
![\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12} \;\;\;\;\times\;\;\;\; \frac{1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^{(n-1)+1}}{1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)}\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D(A_k%5C%2C-%5C%2CA_%7Bk-1%7D)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B12%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Cfrac%7B1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%5E%7B(n-1)%2B1%7D%7D%7B1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%7D%5C%5D)
![\[=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12} \;\;\;\;\times\;\;\;\; \frac{5}{9}\;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B12%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C(1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%5En%5C)%5C%5D)
![\[=\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B3%5C%3B%5Csqrt3%7D%7B20%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C(1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%5En%5C)%5C%5D)
En calculant cette fois-ci la somme en utilisant un télescopage, il vient que :
![\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;A_n\;-\;A_0\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D(A_k%5C%2C-%5C%2CA_%7Bk-1%7D)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3BA_n%5C%3B-%5C%3BA_0%5C%5D)
On déduit donc l’égalité suivante :![\[A_n\;-\;A_0\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5BA_n%5C%3B-%5C%3BA_0%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B3%5C%3B%5Csqrt3%7D%7B20%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Ctimes%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C(1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%5En%5C)%5C%5D)
Et 
. D’où :
![\[\fbox{\;A_n\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\;\;\;\;+\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{4}\;}\]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%5B%5Cfbox%7B%5C%3BA_n%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B3%5C%3B%5Csqrt3%7D%7B20%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C(1%5C%3B-%5C%3B%5C(%5C%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5C%2C%5C)%5En%5C)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%2B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B4%7D%5C%3B%7D%5C%5D)
4) Calculons les limites de 
et 
en 
.
%5En%5C%3B)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%2B%5Cinfty)
car %5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Cg%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B1)
On a %5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Clt%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B1)
, donc %5En%20%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%5C%3B0)
et %5En%5C)%20%5C%3B%5C%3B%3D%5C%3B%5C%3B%201)
. D’où :
%5En%5C)%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%2B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B4%7D%5C))
5) La conclusion quelque peu contre-intuitive à laquelle nous arrivons est que le flocon de Koch est une structure dont le périmètre est infini mais dont l’aire est finie !
Cette propriété est caractéristique d’une famille d’objets mathématiques appelés fractales.
Dans le genre contre-intuitif, voici une structure non fractale en trois dimensions qui n’en est pas moins à s’arracher les cheveux : le solide hyperbolique aigu (aussi appelé parfois « Trompette de Gabriel ») :
Ce solide s’obtient en faisant faire à la courbe de la fonction 
un tour complet autour de l’axe des abscisses, et a la particularité d’avoir un volume fini… et une surface intérieure infinie ! Pour bien comprendre à quel point une telle structure est contre-intuitive, demandez-vous s’il est possible d’en peindre l’intérieur (avec une quantité finie de peinture). Ayant une surface intérieure infinie, il est tentant de répondre non ; pourtant le volume étant fini, ne suffirait-il pas de verser un volume de peinture équivalent pour remplir le solide et ainsi tout peindre… ?
Retour à l’exercice 2
