Correction Module 3 : Flocon de Koch
1) Puisque chaque côté de la figure en forme quatre nouveaux à l’étape suivante, on en déduit la relation . On reconnaît une suite géométrique de raison 4 et de premier terme
, ce qui nous donne immédiatement
pour tout entier naturel
.
2) On a la relation . Par hypothèse de départ, les côtés du triangle équilatéral initial sont de longueur 1 , on a donc
. La longueur d’un côté est divisée par trois à chaque fois que l’on passe à l’étape suivante, ce qui nous donne la relation suivante :
. On reconnaît encore une fois une suite géométrique, de raison 1/3 et de premier terme 1 , on a donc pour tout entier naturel
:
. D’où :
3) a)
D’après le théorème de Pythagore, la hauteur d’un triangle équilatéral dont les côtés sont de longueurs est
. L’aire de ce même triangle équilatéral est donc
. D’où, pour
:
b) représente l’aire des
triangles équilatéraux de côtés de longueur
qu’il faut ajouter à
pour obtenir
. En réutilisant la formule de l’aire d’un triangle équilatéral de côtés
trouvée à la question précédente, on a :
c) Calculons la somme de deux manières différentes. Comme conséquence directe du résultat de la question précédente (remplacez-y
par
), on a :
Avec le changement d’indice évident ci-dessus, on reconnaît la somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison
différente de 1 et de premier terme
(ou, si vous préférez, des
premières puissances successives du réel
multipliée par
) . D’où :
En calculant cette fois-ci la somme en utilisant un télescopage, il vient que :
On déduit donc l’égalité suivante :
Et . D’où :
4) Calculons les limites de et
en
.
car
On a , donc
et
. D’où :
5) La conclusion quelque peu contre-intuitive à laquelle nous arrivons est que le flocon de Koch est une structure dont le périmètre est infini mais dont l’aire est finie !
Cette propriété est caractéristique d’une famille d’objets mathématiques appelés fractales.
Dans le genre contre-intuitif, voici une structure non fractale en trois dimensions qui n’en est pas moins à s’arracher les cheveux : le solide hyperbolique aigu (aussi appelé parfois « Trompette de Gabriel ») :
Ce solide s’obtient en faisant faire à la courbe de la fonction un tour complet autour de l’axe des abscisses, et a la particularité d’avoir un volume fini… et une surface intérieure infinie ! Pour bien comprendre à quel point une telle structure est contre-intuitive, demandez-vous s’il est possible d’en peindre l’intérieur (avec une quantité finie de peinture). Ayant une surface intérieure infinie, il est tentant de répondre non ; pourtant le volume étant fini, ne suffirait-il pas de verser un volume de peinture équivalent pour remplir le solide et ainsi tout peindre… ?