Correction Module 3 : Flocon de Koch

 

1) Puisque chaque côté de la figure en forme quatre nouveaux à l’étape suivante, on en déduit la relation c_{n+1}\\; \\;\\;=\\; \\;\\;4\\;\\;c_n . On reconnaît une suite géométrique de raison et de premier terme  c_{0} \\;= \\;3 , ce qui nous donne immédiatement  c_{n} \\;\\;= \\;\\;\\;3\\;\\times\\;4^n pour tout entier naturel  n .

 

2) On a la relation  p_n \\;= \\;\\;c_n \\;\\times \\;\\; l_n . Par hypothèse de départ, les côtés du triangle équilatéral initial sont de longueur 1 , on a donc  l_0 \\;=\\; 1 . La longueur d’un côté est divisée par trois à chaque fois que l’on passe à l’étape suivante, ce qui nous donne la relation suivante :    l_{\\,n+1} \\;\\;\\;= \\;\\;\\;\\;\\frac{1}{3}\\;\\;\\;\\;l_n   . On reconnaît encore une fois une suite géométrique, de raison 1/3 et de premier terme , on a donc pour tout entier naturel n :     l_{n} \\;\\;\\;= \\;\\;\\;\\(\\;\\frac{1}{3}\\;\\)^n . D’où :
\\;\\;p_n \\;= \\;\\;c_n \\;\\times\\;\\; l_n \\\\ \\fbox{\\;\\;p_n\\;=\\;\\; 3\\;\\times \\;\\(\\frac{4}{3}\\)^n\\;\\;}

3) a) 

 

D’après le théorème de Pythagore, la hauteur d’un triangle équilatéral dont les côtés sont de longueurs  l_n   est   \\frac{\\sqrt3}{2}\\;\\;\\;\\;l_n  . L’aire de ce même triangle équilatéral est donc    A_n \\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\; \\frac{\\sqrt3}{2}\\;\\;\\;l_n\\;\\;\\times \\;\\;\\frac{l_n}{2}\\;\\;\\;\\; = \\;\\;\\;\\;\\;\\frac{\\sqrt3}{4}\\;\\;\\;l_n^{^{\\;2}}     .  D’où, pour  l_0 \\;=\\; 1  :
\\fbox{\\;\\;A_0 \\;\\;\\;= \\;\\;\\;\\;\\;\\frac{\\sqrt3}{4}\\;\\;}

 

 

     b)  A_{n+1}\\;-\\;A_n  représente l’aire des  c_n  triangles équilatéraux de côtés de longueur  l_{\\,n+1}  qu’il faut ajouter à  F_{n}  pour obtenir  F_{n+1} . En réutilisant la formule de l’aire d’un triangle équilatéral de côtés  l_{\\,n+1}  trouvée à la question précédente, on a :

A_{n+1}\\;-\\;A_n \\;\\;=\\;\\;\\;\\; c_n\\; \\times\\;\\; \\frac{\\sqrt3}{4} \\;\\;\\;l_{_{n+1}}^{^{\\;2}}
=\\;\\;\\;\\;\\; 3\\times4^n\\; \\times\\;\\; \\frac{\\sqrt3}{4}\\; \\;\\;\\;\\(\\(\\frac{1}{3}\\)^{n+1}\\)^2
=\\;\\;\\;\\;\\; 4^n\\; \\times\\;\\; \\frac{3\\;\\sqrt3}{4}\\; \\;\\;\\;\\(\\frac{1}{3}\\)^{2n}\\times \\;\\;\\;\\(\\frac{1}{3}\\)^2
=\\;\\;\\;\\;\\; \\(\\frac{3\\;\\sqrt3}{4}\\;\\times \\;\\frac{1}{9}\\)\\;\\times\\;\\;\\(\\,\\frac{4}{3^2}\\)^{n}
\\fbox{\\;A_{n+1}\\;-\\;A_n\\;\\;\\;\\;=\\;\\;\\;\\;\\; \\frac{\\sqrt3}{12}\\;\\times\\;\\;\\(\\,\\frac{4}{9}\\)^{n}\\;}

   

     c) Calculons la somme    \\[\\sum_{k=1}^{n}(A_k\\,-\\,A_{k-1}) \\]   de deux manières différentes. Comme conséquence directe du résultat de la question précédente (remplacez-y  n+1  par  k ), on a :
\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\sum_{k=1}^{n}\;\(\;\frac{\sqrt3}{12}\;\times\;\(\frac{4}{9}\)^{k-1}\;\)\]
\[=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12}\;\;\;\;\;\times\;\;\sum_{k=0}^{n-1}\;\(\frac{4}{9}\)^{k}\]

Avec le changement d’indice évident ci-dessus, on reconnaît la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison 4/9  différente de 1 et de premier terme \sqrt3/12  (ou, si vous préférez, des n premières puissances successives du réel  4/9  multipliée par  \sqrt3/12 ) . D’où :

\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12} \;\;\;\;\times\;\;\;\; \frac{1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^{(n-1)+1}}{1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)}\]

\[=\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{12} \;\;\;\;\times\;\;\;\; \frac{5}{9}\;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]

\[=\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]

En calculant cette fois-ci la somme en utilisant un télescopage, il vient que :

\[\sum_{k=1}^{n}(A_k\,-\,A_{k-1})\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;A_n\;-\;A_0\]

On déduit donc l’égalité suivante :\[A_n\;-\;A_0\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\;\times\;\;\;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\]

Et  A_0 \;\;= \;\;\;\sqrt3/4  .  D’où :

\[\fbox{\;A_n\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\;\;\;\;+\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{4}\;}\]

 

 

 

4) Calculons les limites de  p_n  et  A_n  en  +\infty .

\lim_{n\rightarrow+\infty} \;\;p_n\;\;\;\;=\;\;\lim_{n\rightarrow+\infty} \;\;(\;\;3\times \(\frac{4}{3}\)^n\;)\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;+\infty      car     (4/3)\;\;\;\;\; \g \;\;\;\;\;1

 

On a  (4/9)\;\;\; \lt \;\;\;1 ,   donc    \lim_{n\rightarrow+\infty}\;\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n \;\;=\;\;\;0      et     \lim_{n\rightarrow+\infty}\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\) \;\;=\;\; 1  .  D’où :

\lim_{n\rightarrow+\infty} \;\;A_n\;\;\;\;=\;\;\lim_{n\rightarrow+\infty} \;\;\(\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\(1\;-\;\(\,\frac{4}{9}\,\)^n\)\;\;\;\;+\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{4}\)\;\;\;\;=\;\;\;\;\;\frac{3\;\sqrt3}{20} \;\;\;\;+\;\;\;\;\frac{\sqrt3}{4}\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\; \;\;\;\frac{2\sqrt3}{5}

 

 

5) La conclusion quelque peu contre-intuitive à laquelle nous arrivons est que le flocon de Koch est une structure dont le périmètre est infini mais dont l’aire est finie !

 

Cette propriété est caractéristique d’une famille d’objets mathématiques appelés fractales.


 

 

Dans le genre contre-intuitif, voici une structure non fractale en trois dimensions qui n’en est pas moins à s’arracher les cheveux : le solide hyperbolique aigu (aussi appelé parfois « Trompette de Gabriel ») : 

 

 

Ce solide s’obtient en faisant faire à la courbe de la fonction  1/x  un tour complet autour de l’axe des abscisses, et a la particularité d’avoir un volume fini… et une surface intérieure infinie ! Pour bien comprendre à quel point une telle structure est contre-intuitive, demandez-vous s’il est possible d’en peindre l’intérieur (avec une quantité finie de peinture). Ayant une surface intérieure infinie, il est tentant de répondre non ; pourtant le volume étant fini, ne suffirait-il pas de verser un volume de peinture équivalent pour remplir le solide et ainsi tout peindre… ? 

 

 

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