Module 1 : Un pont de cartes tendant vers l’infini ?

par Pablo

Avez-vous déjà essayé de construire une tour de cartes en équilibre, et de la faire pencher le plus loin possible en décalant petit à petit les cartes les unes par rapport aux autres dans le sens de la longueur sans que la tour ne s’effondre ? Vous êtes-vous déjà demandé jusqu’où pourrait avancer une telle construction ?

Assez logiquement, plus le nombre de cartes utilisé est grand, plus l’avancée (distance parcourue dans le vide en longueur) augmente. Par exemple, en utilisant 20 cartes il est possible de parcourir au maximum une avancée de 3,55 longueurs de carte en réalisant des décalages optimisés (c’est-à-dire les plus grands décalages possibles permettant à la tour de rester en équilibre), contre 4,68 longueurs en utilisant 60 cartes et 5,18 avec 100 cartes.
Bien entendu, on comprend intuitivement que plus le nombre de cartes utilisé est grand, plus la tour pourra pencher loin. La question est maintenant :
En supposant que l’on dispose d’autant de cartes que l’on souhaite, est-il possible de faire pencher cette pile de cartes aussi loin que l’on veut ou existe-t-il une limite vers laquelle converge l’avancée, que l’on ne pourra pas dépasser peu importe le nombre de cartes utilisé ?

C’est à cette question qu’on se propose de répondre de manière rigoureuse à travers l’étude de ce problème.

Prérequis :

Voici un récapitulatif des notions à connaître pour aborder ce problème, avec un rapide résumé de chacune d’elles dans le cas où certaines vous seraient inconnues.

Je vous conseille fortement d’avoir fait les modules 1 et 2 de la partie « Facile » avant de commencer celui-ci.

Partie 1 : Mise en équation du problème

A) Raisonnement par récurrence forte :

Dans le Module 1 était expliqué le raisonnement par récurrence simple, celui présenté en classe de terminale. Le raisonnement par récurrence forte se base sur le même principe, à ceci près qu’au lieu de supposer une propriété $P(n)$ à un certain rang $n$ dans l’hérédité, on va supposer la propriété $P(n)$ jusqu’à un certain rang $n$ . Cela va nous permettre de s’appuyer sur l’hypothèse de récurrence sur tous les rangs inférieurs à $n$ , ce qui sera indispensable pour démontrer certaines propriétés. Dans le cas qui nous intéresse aujourd’hui, l’initialisation reste la même que dans une récurrence simple ; mais veillez en règle générale à ce que votre initialisation reste bien compatible avec ce que vous démontrez dans l’hérédité (cf : Exercice 3 Module 1).

B) Manipulations de sommes (requis pour la Partie 2 également) :

Voir Module 2 des exercices « Faciles ».

Partie 2 : Détermination de la limite

Mis à part les manipulations de sommes, la seule notion dont vous aurez besoin pour cette deuxième partie est la limite d’une suite numérique à valeurs réelles, et quelques propriétés sur ces limites. Voici une courte présentation de cette notion au cas où vous ne l’avez encore jamais rencontrée.

A) Définition rapide du concept de « limite »

a) Intuitivement, on dit qu’une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite finie lorsque la valeur de la suite se rapproche de plus en plus d’un réel $l$ quand l’indice $n$ devient grand (et tend vers l’infini). On écrira alors $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty }(u_n)=l$

Par exemple, la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=\frac{1}{n}$ converge vers 0 ; on écrira donc que la limite de $(\frac{1}{n})$ lorsque $n$ tend vers l’infini est égale à 0 : $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty }(\frac{1}{n})=0$

De manière plus formelle, on dira que $(u_n)$ a pour limite $l\in\mathbb{R}$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les réels $u_n$ à partir d’un certain rang $n_0$ .
Autrement dit, pour tout réel $\\\\\\\\\\\\\\\\varepsilon$ strictement supérieur à 0 il existe un certain rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l’intervalle $]l-\varepsilon \;, \;l+\varepsilon[$ . Aussi petit le $\\\\\\\\\\\\\\\\varepsilon$ choisi soit-il, on a pour tout $n$ :

$n \geq n_0 \;\; \Rightarrow \;\; u_n \in ] l-\varepsilon \;;\; l+\varepsilon[$

b) On dit qu’une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite infinie vers $+\infty$ si et seulement si pour tout réel $M$ , l’intervalle $]M\;;\;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Idem pour une limite infinie vers $-\infty$ , avec l’intervalle $]-\infty\;;\;M[$ . On dira que la suite diverge vers l’infini.

Par exemple : $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty }(n)=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty }(-n)=-\infty$ .

Il peut sembler étrange de parler de limite lorsqu’une suite tend vers l’infini, mais cela permet de distinguer les suites tendant vers l’infini (donc ayant une « limite » au sens mathématique), et celles n’ayant pas de limite.

c) Une suite n’a pas de limite si elle ne rentre dans aucun des deux cas ci-dessus. On dira alors, comme pour une suite de limite infinie, que la suite est divergente (sans toutefois en préciser la limite car celle-ci n’existe pas).

Par exemple les suites définies sur $\mathbb{N}$ par $u_n=\cos n$ ou encore $v_n=(-1)^n$ n’admettent pas de limite.

Attention : Avant d’écrire $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty }(u_n)$ il faut s’assurer que la suite considérée admet bien une limite ; dans le cas contraire, cette notation n’a strictement aucun sens.

B) Opérations élémentaires sur les limites

Soient $l$ et $l'$ deux réels non nuls, $u_n$ et $v_n$ deux suites numériques à valeurs réelles.

Je vous ai résumé les principales opérations du calcul de limites (addition et multiplication) avec le tableau ci-dessous, dans tous les cas de figure que vous pourriez rencontrer pour déterminer la limite d’une somme ou d’un produit de suites en supposant que $u_n$ et $v_n$ admettent une limite. Le tableau se lit bien évidemment de haut en bas, et les colonnes sont indépendantes les unes des autres.
Ce tableau est à connaître, mais pas à apprendre par coeur : il vous suffit de le comprendre une fois pour vous en souvenir, les opérations basiques sur les limites étant assez intuitives.

Vous remarquerez dans deux cas de figure l’emploi des lettres FI signifiant « Forme Indéterminée », c’est-à-dire qu’une étude plus poussée de la suite sera nécessaire pour en déterminer la limite. Par exemple, dans le cas où une suite a pour limite $+\infty$ et l’autre a pour limite $-\infty$ , quelle est la limite de leur somme ?… (Non, ce n’est pas toujours 0). Idem si l’une tend vers 0 et l’autre vers $+\infty$ ou $-\infty$ , la limite de leur produit est indéterminée.
Cela dépend en fait de la « vitesse » à laquelle les suites tendent vers leur limite respective, mais ne rentrons pas trop dans les détails pour le moment.

C) Majorant et minorant sur $\mathbb{R}$ :

Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est dite majorée s’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que pour tout $n\in\mathbb{R}$ , $u_n \leq M$ .
$M$ est alors un majorant de la suite $(u_n)$ . Le majorant n’est pas unique : tout réel $a\geq M$ est également un majorant de $(u_n)$ .

Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est dite minorée s’il existe $m\in\mathbb{R}$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $m\leq u_n$ .
$m$ est alors un minorant de la suite $(u_n)$ . Tout réel $a\leq m$ en est également un.

Par exemple, la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\cos n$ est majorée par 1 et minorée par -1.

D) Théorème de la limite monotone :

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite monotone dans $\mathbb{R}$ .

– Si $(u_n)$ est croissante et majorée par $M\in\mathbb{R}$ , alors $(u_n)$ converge vers une limite $l$ avec $l\leq M$

– Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors elle diverge vers $+\infty$ .

– Si $(u_n)$ est décroissante et minorée par $m\in\mathbb{R}$ alors elle converge vers $l\geq m$

– Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors elle diverge vers $-\infty$ .

Remarque : Ce théorème ne permet pas de calculer la limite, seulement de montrer son existence.

Ce théorème est admis pour le moment, sa démonstration formelle étant totalement hors de portée au lycée. Celle-ci se base sur la propriété de la borne supérieure dans l’ensemble ordonné $\mathbb{R}$ des réels, affirmant que « toute partie non vide et majorée de l’ensemble $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure ». Une démonstration correcte de cette propriété n’est pas même accessible à un élève en fin de prépa MP*, et à moins de continuer des études très poussées en mathématiques vous n’en aurez probablement jamais de démonstration satisfaisante.
(Vous pouvez considérer cette propriété comme un axiome pour le moment.)

Vous avez maintenant toutes les cartes en main (littéralement !) pour aborder ce problème, bon courage !

Partie 1 : Mise en équation du problème

Pour des raisons de commodité dans la représentation schématique du problème, nous considérerons une vue de côté de la pile de cartes, et l’épaisseur d’une carte vue de côté sera exagérée pour que le schéma soit plus lisible. On ne déplace les cartes que dans une seule direction, celles-ci sont donc réduites à des objets en deux dimensions (longueur et épaisseur) : des rectangles dans notre exemple. Si vous avez du mal à vous représenter une carte aussi épaisse, remplacez les cartes par des kaplas ou des briques, le problème reste le même. On suppose bien évidemment que toutes les cartes sont identiques et faites d’une matière homogène.

On cherche à construire une pile de $n$ cartes de longueur $l$ ayant l’avancée la plus longue possible. La question étant : en optimisant au maximum les décalages des cartes les unes par rapport aux autres sans que la pile ne s’effondre, quelle avancée pourrait-on parcourir au maximum en supposant que l’on dispose d’une infinité de cartes ? Voici un exemple d’empilement avec 7 cartes (décalages non optimisés) : Bien souvent en mathématiques, lorsque l’on souhaite étudier un problème dans le cas général, on se ramène en premier lieu à un problème de moindre complexité afin d’en comprendre les mécanismes, puis on trouve le moyen de généraliser. Avant de considérer le problème dans son ensemble (à savoir une pile de $n$ cartes de longueur $l$ , $n$ tendant vers l’infini), ramenons-nous d’abord au cas le plus simple : un empilement de deux cartes. Pour que la carte (1) soit en équilibre au-dessus de la carte (2), il faut que le centre de gravité de (1) (noté $c_1$ et situé au centre du parallélogramme représentant la carte) soit au dessus d’un point de (2) .

Le centre de gravité se trouvant au milieu de la carte, il est possible de décaler la première carte d’au maximum $(l/2)$ par rapport à la seconde. Voyons maintenant ce qu’il se passe avec trois cartes. Pour que l’empilement des trois cartes soit stable, il faut que deux conditions soient vérifiées :

– Comme précédemment, le centre de gravité de (1) doit être au-dessus d’un point de (2)

– Le centre de gravité de la structure formée par les cartes (1) et (2) (noté $c_{1.2}$ et situé au milieu du segment reliant $c_1$ et $c_2$ ), doit être au-dessus d’un point de (3).

1/ On note $x_1$ et $x_2$ les décalages respectifs des cartes (1) et (2) par rapport à la carte du dessous. Quelles sont les inégalités que doivent vérifier $x_1$ et $x_2$ pour que l’empilement soit stable ? En déduire que l’avancée maximum que l’on peut obtenir avec 3 cartes est $3l/4$ .
Pour correctement poser les inéquations et résoudre le problème, on munit le plan d’un repère dont l’origine est le coin inférieur gauche de la dernière carte.

2/ Procéder de même afin de déterminer l’avancée maximale pour 4 cartes.

On admettra pour cela que l’abscisse du centre de gravité d’une structure composée de $p$ cartes est égale à la moyenne des abscisses des centres de gravité de chaque carte .

Remarque : Seule l’abscisse du repère étant importante dans ce problème, on se permettra de négliger l’ordonnée et d’abréger la notation $Abscisse(c_n)$ directement par $c_n$ . (Attention toutefois à ne pas faire ça dans n’importe quel exercice et à ne pas confondre un point et son abscisse, ce qui n’aura aucun sens dans la plupart des cas.)

Ainsi $\displaystyle c_{1.2....p}\;= \; \frac{c_1+c_2+...+c_p}{p}$

3/ Émettre une conjecture sur la valeur maximale de $x_n$ en fonction de $n$ puis la démontrer par récurrence forte.

Maintenant que l’on connaît la valeur maximale de chacun des décalages, calculer l’avancée d’une pile de $n$ cartes devient très facile : il suffit de sommer tous ces décalages de $x_1$ jusqu’à $x_{n-1}$ .

$\displaystyle Avanc\'ee(n)\;=\;\sum_{k=1}^{n-1}x_k$

Il ne reste plus qu’à étudier cette suite afin d’en déterminer la limite, et nous aurons une réponse à notre problème !

Voir la correction

Indice

3/ À chaque fois que l’on rajoute une carte, les conditions vérifiées par les précédents décalages ne changent pas. La seule nouvelle équation à prendre en compte est la dernière, celle faisant intervenir le centre de gravité de l’intégralité de la pile reposant sur la dernière carte ( $c_{1.2.3...n}$ ). C’est l’expression à utiliser pour vérifier l’hérédité.

Partie 2 : Détermination de la limite

Après quelques recherches sur le problème posé, nous avons désormais connaissance de l’expression mathématique de l’avancée maximale en fonction du nombre de cartes $n$ .

$\displaystyle Avanc\'ee(n)\;=\;\sum_{k=1}^{n-1}\frac{l}{2k}$

Avant toute chose, remarquons que dans la somme précédente, seul $k$ varie. On peut donc factoriser la somme par $(l/2)$ , ce qui facilitera son étude :

$\displaystyle \begin{aligned} Avanc\'ee(n)\;&=\;\frac{l}{2} \left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\right) & \\&=\;\frac{l}{2}\,\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}\right) & \end{aligned}$

Ainsi, déterminer l’éventuelle limite vers laquelle converge ou diverge cette somme lorsque $n$ tend vers l’infini revient à trouver la limite de la somme des inverses des entiers naturels non nuls, aussi appelée série harmonique :

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\right) \;=\; \frac{l}{2}\,\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}\right)$

On définit la suite harmonique (ou série harmonique) $(H_n)$ pour tout entier naturel $n$ non nul, par :

$\displaystyle H_n\;=\; \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right) \;=\; 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$

On cherche ici à déterminer si la suite $(H_n)$ admet une limite finie lorsque $n$ tend vers l’infini, autrement dit s’il existe une certaine valeur que l’on ne pourra pas dépasser peu importe l’entier $n$ choisi. Avant toute chose, il faut d’abord s’assurer que la suite $(H_n)$ admet bien une limite (finie ou infinie), afin d’être sûrs d’avoir le droit de parler de « limite ». Par exemple, parler de limite pour la suite $u_n=(-1)^n$ n’a strictement aucun sens.

1/ Montrer que $(H_n)$ est strictement croissante. En déduire que la suite admet bien une limite.

Maintenant que l’on sait que la suite admet une limite, il reste à déterminer si cette dernière est finie ou infinie. En d’autre termes, la suite harmonique converge-t-elle vers un certain réel $a$ ou diverge-t-elle vers $+\infty$ ?

2/ Former la différence $H_{2n}-H_n$ , et montrer que :

$\displaystyle H_{2n}-H_n \, \geq \, \frac{1}{2}$

3/ En déduire de manière rigoureuse, à l’aide d’un raisonnement direct ou d’un raisonnement par l’absurde, que la suite $(H_n)$ diverge vers $+\infty$ .

4/ Conclure quant au problème de départ.

Voir la correction

Indice

1/ Raisonner par disjonction de cas :

– Soit la suite est croissante et majorée, auquel cas …
– Soit la suite est croissante et n’est pas majorée, auquel cas …

2/ Utiliser une minoration judicieusement choisie.

3/ On pourra par exemple utiliser les opérations sur les limites en remarquant que $(H_{2n})$ doit avoir la même limite que $(H_{n})$ quand $n$ tend vers l’infini ; ou supposer par l’absurde qu’il existe une limite finie $a$ et montrer alors qu’à partir d’un certain rang, la suite s’approche si près de $a$ que l’écart entre $H_{2n}$ et $H_{n}$ est plus petit que $1/2$ ; ou encore on pourra s’aider du plus grand entier $p$ tel que $2^p\leq n$ , afin de se servir de $H_{2^p}$ pour comparer $H_{n}$ à $H_1$ lorsque $n$ tend vers l’infini.

Comme souvent en mathématiques, il existe plusieurs manières de faire, l’important étant de choisir celle qui vous semble la plus naturelle.