1/ Par définition, on a   .

 

2/ La façon de faire est exactement la même que pour la question 3/ de l’Exercice 1 , en posant   et   .

 

3/ On pouvait procéder de deux façons ici. La manière la plus rapide et naturelle de procéder était de revenir à la définition de   et  :

         et        
Les nombres impliqués dans ces inégalités étant tous positifs, on peut multiplier ces inégalités terme à terme (attention à toujours bien s’assurer du signe des quantités dans une inégalité avant de multiplier quoi que ce soit) . D’où :

Deux cas se présentent maintenant :

          ou alors         

Ce qui, en revenant à la définition, correspond respectivement à        et     

D’où   

Il était également possible d’appliquer directement la fonction  à l’inégalité     pour obtenir immédiatement que     (et puisqu’on travaille sur des entiers, une inégalité stricte est équivalente à une inégalité large à l’entier inférieur ; on obtient donc le résultat cherché :  )
Il fallait cependant veiller au préalable à démontrer la croissance de la fonction  sur son intervalle de définition pour pouvoir l’appliquer à l’inégalité ci-dessus.

Pour montrer la croissance de la fonction, on pose  et  deux entiers naturels tels que   . De deux choses l’une :
– Si  et   ont le même nombre de chiffres alors   
– Si    a plus de chiffres que    alors   
D’où    .   est donc croissante sur  .

Une deuxième méthode, un peu moins intuitive, consistait à poser :
       avec       
        avec           
( avec   )

Puis à encadrer le produit   :   

En développant au maximum, on obtenait  :  

Par croissance de la fonction  , on se ramenait à    

Ce qui est équivalent à      , soit le résultat cherché en revenant à la définition de  et  .
En posant   ,  ,  et  de cette manière, on a en fait traduit le concept de   »   »  et   »   »  sous forme d’une égalité exploitable par le calcul.

 

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Le genre de raisonnements utilisé dans la question 3/ est le même que celui que vous utiliserez dans le supérieur pour étudier certaines fonctions discontinues « à paliers », comme par exemple la fonction partie entière.

Nous retrouvons le même problème que précédemment avec cette fonction logarithme : elle n’est définie que sur des ensembles d’entiers (et n’est toujours pas injective). Cela a par exemple pour conséquence que la fonction puissance de dix n’est pas la fonction réciproque de ce logarithme, ce qui est assez problématique : on aimerait avoir une fonction qui à tout réel strictement positif    en entrée renverrait le réel    correspondant tel que   . Ainsi l’égalité     serait vraie quelque soient les réels strictement positifs   et    choisis. 

Dans l’exercice 3, nous allons réaliser l’étude théorique des propriétés que devrait vérifier une telle fonction ; puis nous verrons comment les définir dans le cas général et donnerons du sens au concept d’exposant réel.

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