Correction Module 2 : Exercice 2

 

1/ Par définition, on a  L(10^k)\,=\,k .

 

2/ La façon de faire est exactement la même que pour la question 3/ de l’Exercice 1 , en posant a=10^p  et  b=10^q .

 

3/ On pouvait procéder de deux façons ici. La manière la plus rapide et naturelle de procéder était de revenir à la définition de L(a)  et L(b) :

10^{L(a)}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;a \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{L(a)+1}         et        10^{L(b)}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;b \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{L(b)+1}
Les nombres impliqués dans ces inégalités étant tous positifs, on peut multiplier ces inégalités terme à terme (attention à toujours bien s’assurer du signe des quantités dans une inégalité avant de multiplier quoi que ce soit) . D’où :

10^{\,L(b)\,+\,L(a)}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;ab \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,2}

Deux cas se présentent maintenant :

 10^{\,L(b)\,+\,L(a)}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;ab \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,1}         ou alors         10^{\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,1}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;ab \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,2}

Ce qui, en revenant à la définition, correspond respectivement à  L(ab)\;=\;L(a)\;+\;L(b)      et     L(ab)\;=\;L(a)\;+\;L(b)\;+\;1

D’où   L(a)\\\\;+\\\\;L(b)\\\\;\\\\;\\\\leq\\\\;\\\\; L(ab)\\\\;\\\\;\\\\leq\\\\;\\\\; L(a)\\\\;+\\\\;L(b)\\\\;+\\\\;1

Il était également possible d’appliquer directement la fonction L à l’inégalité  10^{\,L(b)\,+\,L(a)}\;\;\;\;\leq \;\;\;\;ab \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;10^{\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,2}   pour obtenir immédiatement que   L(b)\,+\,L(a)\;\;\;\;\leq \;\;\;\;L(ab) \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;\,L(b)\,+\,L(a)\,+\,2  (et puisqu’on travaille sur des entiers, une inégalité stricte est équivalente à une inégalité large à l’entier inférieur ; on obtient donc le résultat cherché :  L(a)\\\\;+\\\\;L(b)\\\\;\\\\;\\\\leq\\\\;\\\\; L(ab)\\\\;\\\\;\\\\leq\\\\;\\\\; L(a)\\\\;+\\\\;L(b)\\\\;+\\\\;1 )
Il fallait cependant veiller au préalable à démontrer la croissance de la fonction L sur son intervalle de définition pour pouvoir l’appliquer à l’inégalité ci-dessus.

Pour montrer la croissance de la fonction, on pose x et y deux entiers naturels tels que  x \;\lt \;\;y . De deux choses l’une :
Si x et y  ont le même nombre de chiffres alors  L(y)\;=\;L(x) 
– Si  y  a plus de chiffres que  x  alors  L(y)\;\g\;L(x) 
D’où  L(y)\;\geq\;L(x)  .  L est donc croissante sur \mathbb{N} .

Une deuxième méthode, un peu moins intuitive, consistait à poser :
a \;\;= \;\;\;10^p \;+\; p'       avec        0\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;p' \;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;\;\;\;9\times10^p
b\;\;= \;\;\;10^q \;+\; q'        avec        0\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;q' \;\;\;\lt \;\;\;\;\;9\times10^q   
( avec  p\,,\,p'\,,\,q\,,\,q'\,\,\,\,\, \in \mathbb{N} )

Puis à encadrer le produit a\times b  :    10^p \times 10^q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ab \;\;\;\;\;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;10^p \;+\;9\times 10^p\;)\;(\;10^q\;+\;9\times 10^q\;)

En développant au maximum, on obtenait  :  10^{\,p+q} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ab \;\;\;\;\;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;\;\;\;\;10^{\,p+q+2}

Par croissance de la fonction L , on se ramenait à   p+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;L(ab )\;\;\;\;\;\;\;\;\lt \;\;\;\;\;\;\;\;\;p+q+2 

Ce qui est équivalent à    p+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;L(ab )\;\;\;\;\;\;\;\;\leq \;\;\;\;\;\;\;\;\;p+q+1  , soit le résultat cherché en revenant à la définition de p et q .
En posant  p , q , p' et q' de cette manière, on a en fait traduit le concept de   » L(a)  »  et   » L(b)  »  sous forme d’une égalité exploitable par le calcul.

 


 

 

 

Le genre de raisonnements utilisé dans la question 3/ est le même que celui que vous utiliserez dans le supérieur pour étudier certaines fonctions discontinues « à paliers », comme par exemple la fonction partie entière.

Nous retrouvons le même problème que précédemment avec cette fonction logarithme : elle n’est définie que sur des ensembles d’entiers (et n’est toujours pas injective). Cela a par exemple pour conséquence que la fonction puissance de dix n’est pas la fonction réciproque de ce logarithme, ce qui est assez problématique : on aimerait avoir une fonction qui à tout réel strictement positif  x  en entrée renverrait le réel  y  correspondant tel que  x=10^{\\\\,y} . Ainsi l’égalité   log(xy)\;\;=\;\;log(x)\;+\;log(y)  serait vraie quelque soient les réels strictement positifs x  et  y  choisis. 

Dans l’exercice 3, nous allons réaliser l’étude théorique des propriétés que devrait vérifier une telle fonction ; puis nous verrons comment les définir dans le cas général et donnerons du sens au concept d’exposant réel.

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