Correction Module 2 : Exercice 2
1/ Par définition, on a .
2/ La façon de faire est exactement la même que pour la question 3/ de l’Exercice 1 , en posant et
.
3/ On pouvait procéder de deux façons ici. La manière la plus rapide et naturelle de procéder était de revenir à la définition de et
:
et
Les nombres impliqués dans ces inégalités étant tous positifs, on peut multiplier ces inégalités terme à terme (attention à toujours bien s’assurer du signe des quantités dans une inégalité avant de multiplier quoi que ce soit) . D’où :
Deux cas se présentent maintenant :
ou alors
Ce qui, en revenant à la définition, correspond respectivement à et
D’où
Il était également possible d’appliquer directement la fonction à l’inégalité
pour obtenir immédiatement que
(et puisqu’on travaille sur des entiers, une inégalité stricte est équivalente à une inégalité large à l’entier inférieur ; on obtient donc le résultat cherché :
)
Il fallait cependant veiller au préalable à démontrer la croissance de la fonction sur son intervalle de définition pour pouvoir l’appliquer à l’inégalité ci-dessus.
Pour montrer la croissance de la fonction, on pose et
deux entiers naturels tels que
. De deux choses l’une :
– Si et
ont le même nombre de chiffres alors
– Si a plus de chiffres que
alors
D’où .
est donc croissante sur
.
Une deuxième méthode, un peu moins intuitive, consistait à poser : avec
avec
( avec )
Puis à encadrer le produit :
En développant au maximum, on obtenait :
Par croissance de la fonction , on se ramenait à
Ce qui est équivalent à , soit le résultat cherché en revenant à la définition de
et
.
En posant ,
,
et
de cette manière, on a en fait traduit le concept de »
» et »
» sous forme d’une égalité exploitable par le calcul.
Le genre de raisonnements utilisé dans la question 3/ est le même que celui que vous utiliserez dans le supérieur pour étudier certaines fonctions discontinues « à paliers », comme par exemple la fonction partie entière.
Nous retrouvons le même problème que précédemment avec cette fonction logarithme : elle n’est définie que sur des ensembles d’entiers (et n’est toujours pas injective). Cela a par exemple pour conséquence que la fonction puissance de dix n’est pas la fonction réciproque de ce logarithme, ce qui est assez problématique : on aimerait avoir une fonction qui à tout réel strictement positif en entrée renverrait le réel
correspondant tel que
. Ainsi l’égalité
serait vraie quelque soient les réels strictement positifs
et
choisis.
Dans l’exercice 3, nous allons réaliser l’étude théorique des propriétés que devrait vérifier une telle fonction ; puis nous verrons comment les définir dans le cas général et donnerons du sens au concept d’exposant réel.