Correction Module 2 : Exercice 3

 

1/    f(0\times0)\;=\;f(0)\;=\;f(0)+f(0)    donc   f(0)\;=\;0
On a maintenant pour tout x dans l’ensemble de définition de  f ,    f(0\times x)\;=\;f(0)\;=\;f(0)+f(x)
D’où   f(x)\;=\;0 .

 

 

2/  On a :    f(1)\;=\;f(1\times1)\;=\;f(1)\;+\;f(1)\;=\;2f(1)
D’où    f(1)\;=\;0

 

 

3/ Intuitivement, on comprend le pattern présent ici, et on a envie de conjecturer que  f(x^n)\;=\;nf(x).
(En effet :   f(x^n)\;=\;f(x\times x^{n-1})\;=\;f(x)+f(x^{n-1})\;=\;f(x)+f(x\times x^{\,n-2})\;=\;.\;.\;.  )

Démontrons-le par récurrence.
Pour n=0 , on a bien   f(x^0)\;=\;f(1)\;=\;0\;=\;0\times f(x)  . Supposons que notre conjecture soit vraie pour un certain rang n , montrons qu’alors elle est vraie au rang n+1  :

 

f(x^{n+1})\;=\;f(x\times x^n)\;=\;f(x)+f(x^n)\;=\;f(x)+nf(x)\;=\;(n+1)f(x)

 

Par récurrence on a bien montré que  f(x^n)\;=\;nf(x)  pour tout  x \;\;\g\;\;0 .

 

 

 

4/    f(x)\;=\;f(\sqrt{x}\times\sqrt{x})\;=\;f(\sqrt{x})+f(\sqrt{x})\;=\;2f(\sqrt{x})
D’où    f(\sqrt{x})\;=\;\frac{1}{2}f(x)   .

 

 

 

5/  f(x)\;=\;f(\,(x^{1/q})^q\,)\;=\;q\.f(x^{1/q})    d’après le résultat de la question 3/
D’où     f(x^{1/q})\;=\;\frac{1}{q}f(x)

 

 

6/ En utilisant le fait que  x^{p/q} \;=\; \(\;x^{\frac{1}{q}}\;\)^p  , on a comme conséquence directe des questions précédentes que  f(x^{p/q})\;\;=\;\;\frac{p}{q}f(x)

 

 

7/  f(1) \;= \;f(x\times \frac{1}{x})   donc on a  f\(\,\frac{1}{x}\,\)\;=\;-f(x)
Soit un rationnel r  tel que  r=\frac{p}{q}  . Si  r\geq0 , on a déjà démontré que l’égalité  f(x^r)\;=\;rf(x)  est vérifiée.
On a de plus  f(x^r\,\times \,x^{-r})\;=\;f(1)\;=\;0\;=\;f(x^r)+f(x^{-r})  ,  d’où   f(x^{-r})\;=\;-f(x^r)\;=\;-rf(x) .
L’égalité est donc également vérifiée pour tous les rationnels négatifs : on en conclut alors que pour tout rationnel r et pour tout x \;\;\g\;\;0  on a  f(x^r)\;=\;rf(x) .

 

Si vous avez fait attention, nous venons de commencer à donner du sens au concept de nombre mis à une puissance non entière… mais pas tout à fait réelle non plus. Nous avons en fait commencé à définir un exposant rationnel, il ne reste plus qu’à généraliser ça aux réels dans leur ensemble !
Vous comprendrez comment utiliser ce concept en dehors du cadre des logarithmes dans la conclusion.

 

 

 

8/  Soit \lambda\in \mathbb{R} .
D’après la densité de  \mathbb{Q}  dans  \mathbb{R} , il existe une suite (r_n) à valeurs dans  \mathbb{Q}  telle que :  \lim_{n\to+\infty}}\;\;\;(r_n) \;\;=\;\; \lambda .
Puisque  f  est continue, on a    \lim_{n\rightarrow+\infty} f(x^{r_n})\;\;\;\;=\;\;\;f(x^{^{\lambda}}) .
Or on a montré dans  7/  que pour tout rationnel, on a   f(x^{r_n})\;\;=\;\;r_n\;f(x)   ;   ce qui admet pour limite  \lambda \,f(x) .

 

Par unicité de la limite, on en déduit que  \fbox{\,f(x^{^{\lambda}})\;\;=\;\;\lambda \,f(x)\,}  pour tout réel  \lambda .

 

 


 

 

En considérant une fonction logarithme  f  continue sur  ]\;0\;\;\;\;;\;+\infty \;[ , nous avons pu commencer à donner du sens au concept de puissance réelle. Or si vous vous souvenez, nous avions évoqué une fonction logarithme justement continue sur  ]\;0\;\;\;\;;\;+\infty \;[  dans l’introduction : le logarithme népérien (noté  ln). Il s’agit du logarithme en base  e , fonction réciproque de la fonction exponentielle    définie sur \mathbb{R} , telle que  e^{ln(x)}\;=\;x   pour tout réel  x  strictement positif et  ln(e^x)\;=\;x  pour tout réel x .

 

Soient  x\in \mathbb{R}   et  a\in \mathbb{R}_+^* . On définit la puissance réelle, notée a^x , par :  

 

\fbox{\;a^x\;\;=\; \;e^{x\,ln(a)}\;}

 

On a bien en effet, grâce au résultat démontré plus haut :   a^x\;\;=\;\;e^{ln(a^{^{x}})}\;\; =\;\;e^{x\,ln(a)} 
Les fonctions exponentielles et logarithme en base e étant bien définies et continues sur  \mathbb{R}_+^* , la puissance réelle est bien définie pour tout réel x

 

Remarque : Les règles de calculs sur les puissances réelles sont les mêmes que pour les puissances entières (cela se vérifie grâce aux propriétés du logarithme et de l’exponentielle). Les propriétés vérifiées sont également les mêmes, à ceci près qu’il est impossible de mettre un nombre négatif à une puissance réelle (on rappelle que  a^x\;\;=\; \;e^{x\,ln(a)}  , or le logarithme n’est pas défini pour un réel a négatif !)
Il est cependant tout à fait possible de mettre un nombre négatif à une puissance entière.
C’est de là que vient la différence entre la notation \\sqrt[n]{a}  et  a^{\\,\\frac{1}{n}\\,} dont il était question dans l’introduction. En effet, dans le cas où n est impair, la notation « racine n-ème » peut être appliquée à un nombre négatif, ce qui n’est pas le cas de la notation « puissance  1/n  » puisqu’il s’agit d’une puissance non entière.

Par exemple, pour  n=3   :   on a     \sqrt[3]{-8}\;=\;-2
Tandis que la notation   (-8)^{\,\frac{1}{3}}   n’a strictement aucun sens.

 

Il est également possible de définir n’importe quel logarithme en base  a\in \mathbb{R}  (noté  log_a ) à partir du logarithme népérien. Ainsi :

 

log_a(x)\; = \;\frac{ln(x)}{ln(a)}

Pour le montrer, partons de l’égalité     x \;\;=\;\; a^{log_a(x)}\;\;=\;\;\(\,e^{ln(a)}\,\)^{\,log_a(x)}\;\;=\;\;e^{\;ln(a)\;log_a(x)} 
Ce qui équivaut à    ln(x)\;=\;ln(a)\;log_a(x)    en appliquant  ln de chaque côté de l’égalité. D’où le résultat cherché.

 

Par exemple, le logarithme en base deux se définirait sur  \mathbb{R}_+^*  par      log_2(x)\; = \;\frac{ln(x)}{ln(2)}  

Et, on aurait bien cette fois-ci, pour tout réel x :

log_2(\,2^x\,)\; = \;\frac{ln(\,2^x\,)}{ln(2)} \;=\; \;\frac{x\;\,ln(2)}{ln(2)} \;=\; x

 

 

 

 

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